Теорема Ферма и док-во Уайлса

[gervladger]

Танияма сформулировал гипотезу в 1955 г. " Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной".
Кажется Г.Фрей в 1985г. преобразовал формулу ВТФ в эллиптическую кривую $Y^2 = x(x - a^n )(x - b^n )$ и предположил, что если найдется такая тройка целых чисел $a,b,c$, что $a^n + b^n = c^n $ $(n > 3)$то эллиптическая кривая
$Y^2 = x(x - a^n )(x - b^n )$(1) не может быть модулярной, что противоречит гипотезе Таниямы.

1. А если кривая не эллиптическая, что тогда?

2. Если предположить, что кривая действительно немодулярна, но является эллиптической, то как удалось доказать, что все кривые обязательно должны быть модулярными?

[Cash]

Вы знаете определение эллиптической кривой?

[gervladger]

Cash в сообщении #747791 писал(а):

Вы знаете определение эллиптической кривой?

Только приблизительное. Поэтому и задаю "глупые" вопросы

[longstreet]

(Оффтоп)

gervladger в сообщении #747792 писал(а):

приблизительное

Странно, зачем вам тогда ответ...

gervladger в сообщении #747792 писал(а):

"глупые"

Кавычки, получается, не нужны.

[Cash]

примерно так:
кривая $Y^2 = x(x - a^n )(x - b^n )$ - эллиптическая, так же как
$x^2+2x+a=0$ - квадратное уравнение
$2x+3=4y-5$ - прямая
$\int \frac{x^3}{3} dx$ - неопределенный интеграл
ну и так далее...
Во втором вопросе хотите, чтобы доказательство гипотезы Таниямы вам выложили?

[gervladger]

Нет, полностью доказательство не нужно. Хочется узнать, каким образом удалось доказать модулярность всех эллиптических кривых при наличии одной (а может и больше) немодулярной. Как доказательство превратилось в своего рода аксиому?

[zer0]

Что за странная фраза - "модулярность всех эллиптических кривых при наличии одной (а может и больше) немодулярной"?
Либо "все модулярные", либо "наличие немодулярной" (по-моему, так)...
Упрощенно я понимаю так:
Уайлс: "все эллиптические кривые модулярны"
Фрей: "если теорема Ферма неверна, то можно построить причудливую эллиптическую кривую Фрея".
Рибет: "причудливая эллиптическая кривая Фрея не модулярна".
Вывод - кривой Фрея не существует. А поскольку для кривой Фрея нужен только контрпример к теореме Ферма, то и контрпримера не существует. Это означает, что теорема Ферма верна.

[Cash]

gervladger в сообщении #747842 писал(а):

Нет, полностью доказательство не нужно. Хочется узнать, каким образом удалось доказать модулярность всех эллиптических кривых при наличии одной (а может и больше) немодулярной. Как доказательство превратилось в своего рода аксиому?

Уайлс доказал совсем не это. Он доказал, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. А поскольку Рибет доказал ранее, что из равенства $a^n+b^n=c^n$ при $n \geqslant 3$ и целых $a, b,c$ следует, что кривая $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна, то уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых числах.

[gervladger]

Cash в сообщении #748072 писал(а):

gervladger в сообщении #747842 писал(а):

Нет, полностью доказательство не нужно. Хочется узнать, каким образом удалось доказать модулярность всех эллиптических кривых при наличии одной (а может и больше) немодулярной. Как доказательство превратилось в своего рода аксиому?

Уайлс доказал совсем не это. Он доказал, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. А поскольку Рибет доказал ранее, что из равенства $a^n+b^n=c^n$ при $n \geqslant 3$ и целых $a, b,c$ следует, что кривая $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна, то уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых числах.

Требуется уточнение. Рибет доказал, что кривая немодулярна, но при этом может иметь рациональные коэффициенты, или просто немодулярна?

[Cash]

Вы о чем? Кривая указана конкретно.

[gervladger]

Cash в сообщении #748155 писал(а):

Вы о чем? Кривая указана конкретно.

Извините, может я не очень корректно выразился. Дело в том, что в некоторых источниках утверждается следующее: Рибет доказал, что кривая Фрея при рациональных коэффициентах не является модулярной, а Уайлс доказал, что каждая кривая (полустабильная) обязана быть модулярной. Два доказательства входят в противоречие друг другу, если только Уайлс не доказал модулярность кривых по типу - поскольку 5=5, то кривые все модулярные (т.е. использовал какое-то неоспоримое утверждение). Тогда доказательство Рибета не имеет силы против доказательства Уайлса. Вот и интересно, действительно ли такое утверждение имеется и оно не содержит в себе ошибки?

[temp03]

gervladger в сообщении #748142 писал(а):

Требуется уточнение. Рибет доказал, что кривая немодулярна, но при этом может иметь рациональные коэффициенты, или просто немодулярна?

ƒ Гипотеза Таниямы. Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Что значит "просто немодулярна"?

[gervladger]

temp03 в сообщении #748231 писал(а):

gervladger в сообщении #748142 писал(а):

Требуется уточнение. Рибет доказал, что кривая немодулярна, но при этом может иметь рациональные коэффициенты, или просто немодулярна?

ƒ Гипотеза Таниямы. Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Что значит "просто немодулярна"?

Т.е. не может иметь рациональных коэффициентов

[temp03]

не может

[gervladger]

temp03 в сообщении #748243 писал(а):

не может

Т.е. Рибет доказал, так сказать, ВТФ, а Уайлс его утвердил (если можно так сказать)?