Сила взаимодействия

[Omega]

Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей:
Необходимо найти силу взаимодействия шара и точечного заряда $q$, если шар не заземлен и его заряд противоположен первому и равен $Q$.
Также, - расстояние между центром шара и точечным зарядом равно $l$.

Каким образом распределится индуцированный на шаре заряд? Как здесь необходимо применить метод изображений?

Всем заранее спасибо.

[nestoronij]

Если $ l > R$ - Закон Кулона.

[Munin]

Omega в сообщении #747907 писал(а):

Необходимо найти силу взаимодействия шара и точечного заряда $q$, если шар не заземлен и его заряд противоположен первому и равен $Q$.

Если бы был противоположен, то был бы $-q.$

А так, вспомним, что заряд $-qR/l,$ распределённый на шаре известно как, решает конкретную электростатическую задачу: потенциал всего шара становится одинаковым. Теперь к этому распределению можно добавить оставшийся заряд $Q-(-qR/l),$ распределённый по поверхности равномерно, поскольку он тоже решает задачу эквипотенциального распределения в отсутствие точечного заряда $q,$ на который мы уже не обращаем внимания. Поскольку в электростатике работает принцип суперпозиции, то и итоговое распределение (точечный заряд с отражением, плюс равномерный остаток) будет эквипотенциальным на шаре. Виват!

[Omega]

Munin в сообщении #748067 писал(а):

Если бы был противоположен, то был бы $-q.$

Прошу прощения,-опечатка.

Munin в сообщении #748067 писал(а):

А так, вспомним, что заряд $-qR/l,$ распределённый на шаре известно как, решает конкретную электростатическую задачу: потенциал всего шара становится одинаковым. Теперь к этому распределению можно добавить оставшийся заряд $Q-(-qR/l),$ распределённый по поверхности равномерно, поскольку он тоже решает задачу эквипотенциального распределения в отсутствие точечного заряда $q,$ на который мы уже не обращаем внимания. Поскольку в электростатике работает принцип суперпозиции, то и итоговое распределение (точечный заряд с отражением, плюс равномерный остаток) будет эквипотенциальным на шаре. Виват!

Я к сожалению, не совсем понял всё то, что Вы написали, но спасибо и на этом. Просто мне хочется разобраться в каждом аспекте задачи и поэтому мне хотелось бы уточнить всё насчёт следующего:
Как я понял: если в случае заземлённого шара к нему поднести точечный заряд, то индуцированный на шаре заряд будет таковым, чтобы потенциал поверхности шара обратился в ноль. То есть $\varphi=\dfrac{kq}{l}+\dfrac{kq'}{R}=0 \Rightarrow q'=-\dfrac{qR}{l}$ . Только я не понимаю, почему же считается потенциал именно в центре шара и почему индуцированный заряд распределяется по поверхности. Разъясните пожалуйста.
Спасибо за помощь.

[DimaM]

Omega в сообщении #748177 писал(а):

Только я не понимаю, почему же считается потенциал именно в центре шара и почему индуцированный заряд распределяется по поверхности.

Потенциал внутри шара везде один и тот же, поэтому считать можно в любой точке. В центре просто удобнее всего, потому как симметрия.
В объеме шара заряда быть не может, так как поле нулевое (теорема Гаусса). Поэтому весь заряд будет на поверхности.

Интересно рассмотреть задачу с одноименными зарядами шара и точечным: при больших расстояниях получается отталкивание, при малых - притяжение.

[Munin]

Omega в сообщении #748177 писал(а):

Прошу прощения,-опечатка.

Так какое правильное условие? Это очень важно. Разница не в минусе, а в том, какая буква "ку" - большая или маленькая. Если первое - то это какой-то независимый параметр, и задача решается, как я написал. Если второе - то это величина, определённая через уже введённый точечный заряд $q.$

Впрочем, поскольку коэффициент всё равно $R/l,$ а не единица, то принципиально это ничего не изменит.

Omega в сообщении #748177 писал(а):

Я к сожалению, не совсем понял всё то, что Вы написали

Я полагал, что задачу с заземлённым шаром вы уже знаете, и знаете хорошо. Если нет - то сначала надо решить эту задачу. Полностью и глубоко разобравшись.

Проще всего мне дать ссылку на Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_image_charges#Reflection_in_a_conducting_sphere
Там достаточно чётко всё сказано, и приведены достаточно полные выкладки.

Omega в сообщении #748177 писал(а):

Только я не понимаю, почему же считается потенциал именно в центре шара

Нет, не в центре! Написанное вами выражение - это просто случайное совпадение. Настоящие выкладки приведены в Wikipedia по ссылке. Если угодно, можете упростить их, рассматривая обнуление потенциала не на всей сфере, а только на двух точках на оси симметрии: на ближнем и на дальнем полюсах сферы, по отношению к точечному заряду. Это даст вам систему уравнений

$$\begin{cases}\dfrac{q}{l-R}+\dfrac{q'}{R-x}=0\\\dfrac{q}{l+R}+\dfrac{q'}{R+x}=0,\end{cases}$$

откуда вычисляются две неизвестные:

$$\begin{cases}x=\dfrac{R^2}{l}\\q'=-\dfrac{qR}{l}.\end{cases}$$

(Оффтоп)

Точнее, совпадение не такое случайное, но углубляться в математические тонкости я здесь не хочу. В любом случае, ваша формула даже не означает потенциала в центре шара, потому что заряд-изображение расположен от центра на расстоянии $R^2/l,$ а не $R.$

Omega в сообщении #748177 писал(а):

и почему индуцированный заряд распределяется по поверхности.

А где же ему ещё распределяться? Шар проводящий, и на нём всегда все заряды распределены по поверхности, а внутри зарядов нет. Иначе, любой заряд внутри шара создаст в нём по теореме Гаусса $\oint\mathbf{E}\,d\mathbf{S}=4\pi\int\rho\,dV$ ненулевое электрическое поле, и шар станет не эквипотенциальным.

-- 22.07.2013 18:31:13 --

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #748193 писал(а):

Потенциал внутри шара везде один и тот же, поэтому считать можно в любой точке. В центре просто удобнее всего, потому как симметрия.

Это, наверное, оговорка.

DimaM в сообщении #748193 писал(а):

Интересно рассмотреть задачу с одноименными зарядами шара и точечным: при больших расстояниях получается отталкивание, при малых - притяжение.

Да, должен быть такой эффект, и из написанного мной в post748067.html#p748067 , можно понять, почему.

[Omega]

Всем огромное спасибо за подробные разъяснения по поводу сферы.
Итак, если же сфере либо шар не заземлены и заряжены, то, как я понял, получается следующее:
Потенциал шара есть:

$$\varphi=k \left( \dfrac{Q}{R}+ \dfrac{q}{l} \right) =\dfrac{kQ'}{R} \Rightarrow Q'=Q+q\dfrac{R}{l}$$

$Q'$ - фиктивный заряд, расположенный в центре шара.
Только как же объяснить, - почему именно в центре, так удобнее?
И правильно ли я понял, что одновременно с $Q'$ внутри шара будет располагаться ещё один фиктивный заряд $q'=\dfrac{-qR}{l}$ ?
И для чего вообще использовать именно два заряда-изображения в этом случае, а не один как в предыдущем? Мне не ясно также, почему в вышенаписанной формуле отсутствует потенциал второго фиктивного заряда?
Заранее спасибо за разъяснения.

[DimaM]

Omega в сообщении #748489 писал(а):

И правильно ли я понял, что одновременно с $Q'$ внутри шара будет располагаться ещё один фиктивный заряд $q'=\dfrac{-qR}{l}$ ?

Правильно.

Omega в сообщении #748489 писал(а):

И для чего вообще использовать именно два заряда-изображения в этом случае, а не один как в предыдущем?

Потому что полный заряд шара другой.

Omega в сообщении #748489 писал(а):

Мне не ясно также, почему в вышенаписанной формуле отсутствует потенциал второго фиктивного заряда?

Он там присутствует: полный потенциал складывается из потенциала внешнего заряда и суммы двух фиктивных.

[Munin]

Omega в сообщении #748489 писал(а):

Итак, если же сфере либо шар не заземлены и заряжены, то, как я понял, получается следующее:
Потенциал шара есть:

$$\varphi=k \left( \dfrac{Q}{R}+ \dfrac{q}{l} \right) =\dfrac{kQ'}{R} \Rightarrow Q'=Q+q\dfrac{R}{l}$$

$Q'$ - фиктивный заряд, расположенный в центре шара.
Только как же объяснить, - почему именно в центре, так удобнее?

Снова ерунда какая-то. Вы почему-то к правильному ответу пристраиваете какую-то неправильную формулу вначале, а потом ставите между ними значок $\Rightarrow.$ Кто вас научил делать такую глупость? Два раза!!!

Потенциал шара нельзя вычислить простой формулой, в которую входит непосредственно буква $Q.$ Потому что этот заряд $Q$ распределён по шару очень сложно. Зато, его можно разложить на два заряда, $q'$ и $Q'=Q-q',$ и вот тогда потенциал шара будет вычисляться просто (заметьте, это опять вычисление не в центре, а на поверхности шара):

$$\varphi=\dfrac{q}{l-R}+\dfrac{q'}{R-x}+\dfrac{Q'}{R}.$$

Здесь формула $Q'=Q-q'$ следует просто из аддитивности заряда, а расположение (фиктивного точечного) $Q'$ в центре - из того, что именно это расположение даст эквипотенциальное поле на поверхности шара. А теперь, из того факта, что $q'$ мы специально подобрали, следует, что сумма первых двух слагаемых равна нулю, то есть:

$$\varphi=\dfrac{q}{l-R}+\dfrac{q'}{R-x}+\dfrac{Q'}{R}=\dfrac{Q'}{R}.$$

Как видите, величины $Q$ здесь в левой части не фигурирует.

Omega в сообщении #748489 писал(а):

Только как же объяснить, - почему именно в центре, так удобнее?

Не в центре, выбросьте ваши ошибочные выдумки! И не надо будет их объяснять.

Omega в сообщении #748489 писал(а):

И правильно ли я понял, что одновременно с $Q'$ внутри шара будет располагаться ещё один фиктивный заряд $q'=\dfrac{-qR}{l}$ ?

Да, будут два фиктивных заряда: $Q'$ в центре шара (в данном случае - в центре, потому что только тогда потенциал, создаваемый этим зарядом, на поверхности шара постоянен), и $q'$ не в центре (по той причине, что потенциал этого заряда в сумме с потенциалом внешнего заряда $q'$ будет, по-прежнему, на поверхности шара постоянен).

Omega в сообщении #748489 писал(а):

И для чего вообще использовать именно два заряда-изображения в этом случае, а не один как в предыдущем?

Для того, что одним точечным зарядом величины $Q$ нельзя сделать равным потенциал на поверхности шара, где бы в пространстве вы этот точечный заряд ни расположили. Можете проверить прямым вычислением.

Omega в сообщении #748489 писал(а):

Мне не ясно также, почему в вышенаписанной формуле отсутствует потенциал второго фиктивного заряда?

Потому что формула до бредовости неправильная.

[nikvic]

DimaM в сообщении #748193 писал(а):

Интересно рассмотреть задачу с одноименными зарядами шара и точечным: при больших расстояниях получается отталкивание, при малых - притяжение.

Из той же серии. Берём 2 магнита и сравниваем силы притяжения разноимёнными полюсами и отталкивания одноимёнными - какая больше?

[Munin]

Если правильно сравнить, то будут равны. Это Кулон открыл.

[nikvic]

Munin в сообщении #748609 писал(а):

Если правильно сравнить, то будут равны. Это Кулон открыл.

К нашему счастью, у первооткрывателей были неточные приборы

[Omega]

Всем огромное спасибо за подробнейшие разъяснения.
Прошу прощение за своё невежество.
И так в итоге я получил следующий ответ:

$$F=k \left (\dfrac{Qq}{l^{2}}+\dfrac{q^2R}{l^{3}}-\dfrac{q^2Rl}{(l^{2}-R^{2})^{2}} \right)$$

То есть действительно, при определённых условиях одноимённо заряженные шар и точечный заряд могу притягиваться!

[Munin]

nikvic в сообщении #748619 писал(а):

К нашему счастью, у первооткрывателей были неточные приборы

К нашему счастью, Кулон открыл точный закон (может быть, и неточными приборами, но компенсирующей эту неточность методикой).