Компактность групп Ли

[ChaosProcess]

Стоит задача: показать компактность $SU(n)$ и некомпактность $GL(n,C)$. Компактность в наиболее общей формулировке: в любом покрытии можно выделить конечное подпокрытие. Непонятно, как это определение применить в задаче.

[Oleg Zubelevich]

ChaosProcess в сообщении #747556 писал(а):

Стоит задача: показать компактность $SU(n)$

какому тождеству удовлетворяют матрицы из этой группы?

ChaosProcess в сообщении #747556 писал(а):

и некомпактность $GL(n,C)$

где попытки решения?

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #747565 писал(а):

ChaosProcess в сообщении #747556 писал(а):

Стоит задача: показать компактность $SU(n)$

какому тождеству удовлетворяют матрицы из этой группы?

$$g^\dag g=1,\quad detg=1$$

ChaosProcess в сообщении #747556 писал(а):

и некомпактность $GL(n,C)$

где попытки решения?

Я не знаю как это доказывать, написал же.

[Oleg Zubelevich]

ChaosProcess в сообщении #747605 писал(а):

атрицы из этой группы?

$$g^\dag g=1,$$

теперь примените операцию "след" к левой и правой части формулы

[Padawan]

Используйте то, что множество в пространстве $\mathbb R^m$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #747608 писал(а):

теперь примените операцию "след" к левой и правой части формулы

$$Tr(g^\dag g)=|a_{11}|^2+|a_{12}|^2+...+|a_{nn}|^2=Tr(E)=n,$$

т.е. элементы занимают ограниченную сферу в $C^{n^2}$.

Padawan в сообщении #747648 писал(а):

Используйте то, что множество в пространстве $\mathbb R^m$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Замкнуто - в смысле содержит все предельные точки?

[_Er]

Из $\sum_{i,j=1}^n |a_i_j|^2=n$ следует, что $SU(n)$ лежит на сфере в $\mathbb R^{n^2}$, и значит оно ограниченно. Как показать замкнутость?

[Munin]

Замкнутость следует из того, что это группа Ли. По сути, надо показать только ограниченность или неограниченность.

[_Er]

Цитата:

Замкнутость следует из того, что это группа Ли.

А можно подробнее? В определении группы Ли у Рубакова говорится, что ей соответствует гладкое многообразие. Из гладкости следует замкнутость? Если да, то почему?

Вроде бы еще есть такой критерий замкнутости: Мн-во $E$ называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек $A_n\in E$ , сходится к точке $A_0$, следует, что $A_0 \in E$. (Писали в теме "Сфера - компакт"). Можно ли здесь сказать так: если последовательность $U_n \in SU(n)$ сходится к $U_0$, то $U_0^\dag U_0=1$, т.е. $U_0 \in SU(n)$ и значит оно замкнуто.

У некого Д. П. Желобенко в книге "Компактные группы Ли и их представления" нашел объяснение компактности группы $O(n)$. Там говорится следующее: "множество $O(n)$ замкнуто, т.к. условие $g'g=e$ сохраняется при предельном переходе." Насколько я понимаю, это как раз то, что я говорю немного выше, так?

И последний момент. Некомпактность $GL(n,C)$ и $GL(n,R)$ следует просто из неограниченности соответствующих им многообразий, обусловленной тем, что отдельные компоненты матриц этих групп могут принимать любые значения из $\mathbb C$ и $\mathbb R$ соответственно?

[Munin]

_Er в сообщении #889962 писал(а):

В определении группы Ли у Рубакова говорится, что ей соответствует гладкое многообразие. Из гладкости следует замкнутость?

Замкнутость следует из того, что это многообразие (без края). Вопросы замкнутости к этому моменту уже давным-давно решены. Понятие многообразия более "высокоуровневое", чем элементарные топологические понятия замкнутости, открытости, покрытия, конечного подпокрытия.

В общем, на наглядном языке, если вы взяли какую-то "поверхность" в "пространстве", то она обладает уже всеми "хорошими" элементарными свойствами настолько, что её можно воспринимать локально как гладкую функцию $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^{n>m}$ (с невырожденным якобианом) на какой-то области в $\mathbb{R}^m.$ Вопрос компактности или некомпактности сводится к вариантам типа "уходит в бесконечность", или "бесконечно сминается или наматывается в какой-то ограниченной области". Второго с группами Ли не бывает. Бывает только первое.

Хм-м-м, я задумался, как доказать "второго с группами Ли не бывает"...

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #889954 писал(а):

Замкнутость следует из того, что это группа Ли

Группа Ли матриц с положительным определителем не является замкнутым многообразием.

[Munin]

Хм-м-м.

[_Er]

Munin, то, что я писал выше про компактность $SU(n)$ и некомпактность $GL(n,C)$ – верно?

И еще небольшой вопрос. Вы говорите:

Цитата:

В общем, на наглядном языке, если вы взяли какую-то "поверхность" в "пространстве", то она обладает уже всеми "хорошими" элементарными свойствами настолько, что её можно воспринимать локально как гладкую функцию $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^{n>m}$ (с невырожденным якобианом) на какой-то области в $\mathbb{R}^m.$

Требование невырожденности якобиана здесь – для гарантии обратимости функции, так?

[Munin]

_Er в сообщении #890075 писал(а):

Munin, то, что я писал выше про компактность $SU(n)$ и некомпактность $GL(n,C)$ – верно?

Пусть лучше Oleg Zubelevich проверит. У меня здесь дыра, оказывается.

_Er в сообщении #890075 писал(а):

Требование невырожденности якобиана здесь – для гарантии обратимости функции, так?

Нет, для гарантии, что на поверхности всё ровно и гладко, а нет никаких острий, зазубрин и прочего.

[ewert]

_Er в сообщении #889947 писал(а):

Из $\sum_{i,j=1}^n |a_i_j|^2=n$ следует, что $SU(n)$ лежит на сфере в $\mathbb R^{n^2}$, и значит оно ограниченно.

Можно и так, но это лишнее: они тривиально ограниченны по операторной евклидовой норме.

_Er в сообщении #889962 писал(а):

Можно ли здесь сказать так: если последовательность $U_n \in SU(n)$ сходится к $U_0$, то $U_0^\dag U_0=1$, т.е. $U_0 \in SU(n)$

Можно.

_Er в сообщении #889962 писал(а):

Некомпактность $GL(n,C)$ и $GL(n,R)$ следует просто из неограниченности соответствующих им многообразий, обусловленной тем, что отдельные компоненты матриц этих групп могут принимать любые значения из $\mathbb C$ и $\mathbb R$ соответственно?

Да, этого вполне достаточно.