Бусинка на спице

[ewert]

Omega в сообщении #746455 писал(а):

Так как к сожалению прийти к этому интегралу, именно в векторной форме записи, что предложили Вы, - у меня толком не выходит.

А и не надо в векторной форме, это нелепо. Допустим, ось иксов идёт вдоль спицы. Тогда Вам нужна только иксовая координата той силы. Вот тупо и выписывайте её:

$$F_x=q\int\limits_0^{2\pi}\dfrac{Q}{2\pi}\cdot\dfrac1{r^2}\cdot\dfrac{r_x}r\,d\varphi,$$

где $r$ -- расстояние от точки на кольце до точки наблюдения на спице и $r_x$ -- иксовая координата соответствующего вектора. Потом ещё более тупо расписывайте $r$ и $r_x$ в полярных координатах через смещение точки вдоль спицы, радиус кольца $R$ и полярный угол $\varphi$. Потом выписывайте первое приближение по смещению для этого интеграла.

Хотя через потенциал всё это, конечно, проще, разве что некоторая внимательность понадобится.

nikvic в сообщении #746419 писал(а):

Гм, квадрат отклонения остаётся, а средний косинус равен нулю.

Само собой равен; он и не мог не исчезнуть -- функция-то заведомо чётная по смещению. Но. Так как всё-таки насчёт получающейся при этом неустойчивости -- не настораживает?...

[Oleg Zubelevich]

$$\frac{1}{|x\overline e_x-\overline r|^3}=\frac{1}{R^3}\Big(1+\frac{3x}{R^2}(\overline e_x,\overline r)+O(x^2)\Big),\quad (\overline e_x,\overline r)=R\cos\varphi$$

дальше сами

[Omega]

Всем спасибо.
А можно ли так?
Один из вариантов моего решения:
Пусть бусинку отклонили на $x$ от положения равновесия. Пусть малый элемент кольца с зарядом $dQ$ ,находящийся на
расстоянии $l$ от бусинки, "создаёт" потенциал $d\varphi$ в точке, где находиться бусинка, тогда:

$$d\varphi=\dfrac{kdQ}{\sqrt{R^{2}+x^{2}-2Rx\cos{\alpha}}}} \Rightarrow dU_{q}(\alpha)=\dfrac{kQq}{2\pi R}\dfrac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}+1-2a\cos{\alpha}}}}$$

Принято, что $x=aR$. Далее:

$$U_{q}=\dfrac{kQq}{2\pi R} \int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}+1-2a\cos{\alpha}}}}$$

Также, разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора до второго члена:

$$\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1-2a\cos{\alpha}}}}\approx 1+a\cos \left( \alpha \right) + \left( -1/2+3/2\,\left( \cos \left( \alpha \right) \right) ^{2} \right) {a}^{2}$$

То есть в итоге:

$$\Delta U_{q}=\dfrac{kQq}{2\pi R^{3}}\cdot\dfrac{\pi x^{2}}{2}$$

Ну а дальше всё просто и получится вот что:

$$T=\sqrt{\dfrac{8\pi^{2}mR^{3}}{kQq}}$$

[ewert]

Ну вроде верно, хотя разложение (правильное) Вы записали в какой- не очень естественной форме.

[Omega]

ewert, да, я с Вами соглашусь, - через силу выходит намного всё дольше...

ewert в сообщении #746481 писал(а):

Ну вроде верно, хотя разложение (правильное) Вы записали в какой- не очень естественной форме.

Простите, а что именно?

[ewert]

Omega в сообщении #746485 писал(а):

Простите, а что именно?

Да не обращайте внимания, просто вкусовщина. Вы все члены собрали (хотя делать это было и не обязательно), а очевиднее была бы запись, получающаяся непосредственно после разложения:$\sim1-\frac12\,(a^2+2a\cos\alpha) + \frac38\,(2a\cos\alpha)^2$.

[nikvic]

ewert в сообщении #746468 писал(а):

Но. Так как всё-таки насчёт получающейся при этом неустойчивости -- не настораживает?...

Ок - недосмотрел

[Omega]

А можно ли данную задачу решить с использованием теоремы Гаусса? То есть - представить, что вместе с кольцом существует соосный ему цилиндр определённой высоты и определённого радиуса?

[nikvic]

Можно.
Рассмотреть маленький цилиндр и найти радиальную производную напряжённости - осевая ищется быстро (интеграл от константы).

[Omega]

А если учесть, что внутри этого цилиндра отсутствует заряд, то по определению поток вектора напряжённости электрического поля через всю его поверхность - ноль? Или я чего-то не понимаю, или я не правильно выражаюсь? Прошу, поправьте меня, - если что не верно.

[nikvic]

Да, именно так. С обоснованием приближений мат. анализом.

[Omega]

То есть - если быть конкретнее - суммарный поток вектора напряжённости через два основания и боковую поверхность равен нулю, верно? Ну а тогда, какой именно из потоков: через основания или через боковую поверхность - должен быть отрицателен, чтобы сумма двух последних обращалась в нуль? И почему всё именно так?
Заранее больше спасибо за подробное объяснение.

[nikvic]

Ну, судите сами. Если кольцо горизонтально (а заряд плюсовый), то поле выше кольца - вверх, ниже - вниз. Так что через торцы оно "вытекает"

[Omega]

На скорую руку :)
Что-то вроде этого:

???

[nikvic]

Ага.