Небезынтересный интеграл

[Ktina]

Пусть $f(x)=1$, если число $x$ в десятичной записи содержит цифру 9, и $f(x)=0$ в противном случае.
Вычислить интеграл:

$$\int\limits^{1}_{0}f(x) dx$$

Неужели единичка получается?
Ведь вероятность встретить число без девятки в десятичной записи равна нулю.
Действительно, первая цифра после запятой будет не-девяткой с вероятностью 0,9; первые две -- с вероятностью 0, 81; первые три -- 0,729 и так далее, предел будет равен нулю.
Я правильно рассуждаю?

[venco]

Насколько я понимаю, по Риману не берётся, а по Лебегу - равен нулю. Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

[Nemiroff]

venco в сообщении #744622 писал(а):

Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

Мне кажется, наоборот.

[lena7]

venco в сообщении #744622 писал(а):

Насколько я понимаю, по Риману не берётся

Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.

[venco]

Nemiroff в сообщении #744625 писал(а):

venco в сообщении #744622 писал(а):

Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

Мне кажется, наоборот.

У Кантора вырезается на каждом шаге треть, а здесь - одна десятая. А в остальном - аналогично.

-- Вт июл 09, 2013 11:23:39 --

lena7 в сообщении #744626 писал(а):

Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.

Возможно. Если так, то там, где она непрерывна - равна нулю, так что и интеграл будет равен нулю.

[Nemiroff]

venco в сообщении #744632 писал(а):

У Кантора вырезается на каждом шаге треть, а здесь - одна десятая.

Да, только там, где вырезается одна десятая, там функция принимает нуль, а не единицу. Канторово множество - без единицы в троичной записи. А тут множество нулевых значений без девятки в десятичной записи.

[Sonic86]

venco в сообщении #744622 писал(а):

Насколько я понимаю, по Риману не берётся, а по Лебегу - равен нулю.

Если $\frac{9}{10}\leqslant x< 1$, то $f(x)=1$. Так что интеграл $\geqslant \frac{1}{10}$ по Риману (если берется).
...Иииии $\int\limits_{a/10}^{b/10}f(x)dx=\frac{1}{10}\int\limits_a^bf(x)dx$ для $0\leqslant a<b<10$. И тогда интеграл вроде как равен 1 даже по Риману?

[Nemiroff]

Вообще, у топикстартера (топикстартерши?) разумное рассуждение. Разве нет?

[Sonic86]

Nemiroff в сообщении #744639 писал(а):

Вообще, у топикстартера (топикстартерши?) разумное рассуждение. Разве нет?

ЕМНИП, то да, но для формальной строгости еще нужно это перевести на язык теории меры, а я последний не знаю

[venco]

Sonic86 в сообщении #744635 писал(а):

И тогда интеграл вроде как равен 1 даже по Риману?

Большой пардон. Я перепутал значения функции. Конечно единица по всякому.

[Sonic86]

(Оффтоп)

venco в сообщении #744642 писал(а):

Большой пардон. Я перепутал значения функции. Конечно единица по всякому.

Не-не-не, подождите, я хочу рассуждение! Ааа!!! Почему он по Риману-то существует??? Неужели множество $\{x:f(x)=0\}$ нигде не плотно в $[0;1]$?

[Nemiroff]

Sonic86 в сообщении #744645 писал(а):

Почему он по Риману-то существует???

Потому что

lena7 в сообщении #744626 писал(а):

Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.

[lena7]

Sonic86 в сообщении #744645 писал(а):

Почему он по Риману-то существует???

Это критерий Лебега. Непрерывность почти всюду (в смысле Лебега) и ограниченность являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости по Риману.

[Sonic86]

Nemiroff в сообщении #744646 писал(а):

Функция непрерывна почти всюду

Вот почему это?
Вот вроде понял:
Макс. диаметр разбиения $\lambda\to 0$.
При $\lambda =10^{-n}$ при равномерном разбиении число долек, в которых числа содержат хотя бы одну цифру $9$ будет $10^n-9^n$ и тогда доля интервалов, на которых $f(x)=0$ стремится к нулю.
При $\lambda\neq 10^{-n}$ надо посложнее рассуждать.
А вот $f^{-1}(0)$ вообразить так и не смог
(хотя по идее на пыль Кантора действительно должно быть похоже)

[SpBTimes]

А как строго показать, что непрерывна п.в.?