2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 14:38 
Аватара пользователя
Пусть $f(x)=1$, если число $x$ в десятичной записи содержит цифру 9, и $f(x)=0$ в противном случае.
Вычислить интеграл: $$\int\limits^{1}_{0}f(x) dx$$
Неужели единичка получается?
Ведь вероятность встретить число без девятки в десятичной записи равна нулю.
Действительно, первая цифра после запятой будет не-девяткой с вероятностью 0,9; первые две -- с вероятностью 0, 81; первые три -- 0,729 и так далее, предел будет равен нулю.
Я правильно рассуждаю?

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 17:56 
Насколько я понимаю, по Риману не берётся, а по Лебегу - равен нулю. Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:10 
venco в сообщении #744622 писал(а):
Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

Мне кажется, наоборот.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:12 
venco в сообщении #744622 писал(а):
Насколько я понимаю, по Риману не берётся

Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:22 
Nemiroff в сообщении #744625 писал(а):
venco в сообщении #744622 писал(а):
Т.к. ненулевая область аналогична множеству Кантора, с нулевой мерой.

Мне кажется, наоборот.
У Кантора вырезается на каждом шаге треть, а здесь - одна десятая. А в остальном - аналогично.

-- Вт июл 09, 2013 11:23:39 --

lena7 в сообщении #744626 писал(а):
Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.
Возможно. Если так, то там, где она непрерывна - равна нулю, так что и интеграл будет равен нулю.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:25 
venco в сообщении #744632 писал(а):
У Кантора вырезается на каждом шаге треть, а здесь - одна десятая.

Да, только там, где вырезается одна десятая, там функция принимает нуль, а не единицу. Канторово множество - без единицы в троичной записи. А тут множество нулевых значений без девятки в десятичной записи.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:25 
venco в сообщении #744622 писал(а):
Насколько я понимаю, по Риману не берётся, а по Лебегу - равен нулю.
Если $\frac{9}{10}\leqslant x< 1$, то $f(x)=1$. Так что интеграл $\geqslant \frac{1}{10}$ по Риману (если берется). :roll:
...Иииии $\int\limits_{a/10}^{b/10}f(x)dx=\frac{1}{10}\int\limits_a^bf(x)dx$ для $0\leqslant a<b<10$. И тогда интеграл вроде как равен 1 даже по Риману?

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:29 
Вообще, у топикстартера (топикстартерши?) разумное рассуждение. Разве нет?

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:32 
Nemiroff в сообщении #744639 писал(а):
Вообще, у топикстартера (топикстартерши?) разумное рассуждение. Разве нет?
ЕМНИП, то да, но для формальной строгости еще нужно это перевести на язык теории меры, а я последний не знаю :-(

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:32 
Sonic86 в сообщении #744635 писал(а):
И тогда интеграл вроде как равен 1 даже по Риману?
Большой пардон. Я перепутал значения функции. Конечно единица по всякому.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:37 

(Оффтоп)

venco в сообщении #744642 писал(а):
Большой пардон. Я перепутал значения функции. Конечно единица по всякому.
Не-не-не, подождите, я хочу рассуждение! Ааа!!! Почему он по Риману-то существует??? Неужели множество $\{x:f(x)=0\}$ нигде не плотно в $[0;1]$?

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:39 
Sonic86 в сообщении #744645 писал(а):
Почему он по Риману-то существует???

Потому что
lena7 в сообщении #744626 писал(а):
Я далека от темы, но, по-моему, берётся и по Риману. Функция непрерывна почти всюду и ограничена.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:41 
Sonic86 в сообщении #744645 писал(а):
Почему он по Риману-то существует???

Это критерий Лебега. Непрерывность почти всюду (в смысле Лебега) и ограниченность являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости по Риману.

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 18:48 
Nemiroff в сообщении #744646 писал(а):
Функция непрерывна почти всюду
Вот почему это?
Вот вроде понял:
Макс. диаметр разбиения $\lambda\to 0$.
При $\lambda =10^{-n}$ при равномерном разбиении число долек, в которых числа содержат хотя бы одну цифру $9$ будет $10^n-9^n$ и тогда доля интервалов, на которых $f(x)=0$ стремится к нулю.
При $\lambda\neq 10^{-n}$ надо посложнее рассуждать.
А вот $f^{-1}(0)$ вообразить так и не смог :-(
(хотя по идее на пыль Кантора действительно должно быть похоже)

 
 
 
 Re: Небезынтересный интеграл
Сообщение09.07.2013, 19:59 
Аватара пользователя
А как строго показать, что непрерывна п.в.?

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group