2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 32  След.
 
 Одно диофантово уравнение и ВТФ.
Сообщение23.07.2007, 10:40 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Предлагается такое уравнение:
$ax+by=cz$, где целые числа
$a, b, c, x, y, z$ взаимопростые.
Требуется найти общее ненулевое решение уравнения.
(Очевидное частное решение: $x=y=z=1$.)
Каковая вероятность решить проблему?
Не для этого ли П.Ферма обратился к Диофанту?
(Связь уравнения с ВТФ будет показана позже.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 10:49 


20/01/06
107
интересно бы почитать новое док-во FLT ))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
Так и не научились аккуратности в формулировках.

Ваше частное решение (1, 1, 1) будет очевидным только в случае, если $a+b=c$, иначе это вообще не решение.
Общее решение этого уравнения при взаимно простых $a$ и $b$ находим так:
Берём произвольно $z_0$, стандартным образом через алгоритм Евклида находим частное решение $x_0, \ y_0$ уравнения $ax+by=cz_0$. Все $(x,y)$ теперь описываются так: $x=x_0+bt, y=y_0-at $.
При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.

 Профиль  
                  
 
 Одно диофантово уравнение и ВТФ
Сообщение23.07.2007, 11:57 


24/11/06
538
г.Донецк,Украина
Сорокин Виктор писал(а):
(Связь уравнения с ВТФ будет показана позже.)

Жду с интересом этого.. А то многое на форуме для таких как я как то вырвано из контекста. Мне кажется, что не плохо бы показывать всю историю, хотя бы кратко. У меня к Вам еще один интерес:
О вас иногда вспоминает ${Someone}$.
Хотел бы попробовать привлечь Вас, как третейского судью, на основании того, что вы знакомы с троичным счислением не по наслышке. Конечно, если это для вас приемлемо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 21:22 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
4arodej писал(а):
интересно бы почитать новое док-во FLT ))

Его суть - рассматриваемое здесь диофантово уравнение, вытекающее из равенства Ферма за 3-4 простейших логических операций над хорошо известными формулами. Я его приведу спустя некоторое время - даже если диофантово уравнение будет иметь решение с разными значениями неизвестных. Но хотелось бы убедиться, что такого решения нет.

Добавлено спустя 9 минут 8 секунд:

bot писал(а):
1. Так и не научились аккуратности в формулировках.

2.При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.


1. И не научусь: горбатого могила исправит (уж скоро будет пора...).
2. Спасибо за решение. Перевариваю. Хочу понять, почему $x, y, z, a, b, c$ окажутся взаимопростыми.

Добавлено спустя 9 минут 36 секунд:

Re: Одно диофантово уравнение и ВТФ

Iosif1 писал(а):
1. Жду с интересом этого.
2. А то многое на форуме для таких как я как то вырвано из контекста. Мне кажется, что не плохо бы показывать всю историю, хотя бы кратко.
3. У меня к Вам еще один интерес:
О вас иногда вспоминает ${Someone}$.
4. Хотел бы попробовать привлечь Вас, как третейского судью, на основании того, что вы знакомы с троичным счислением не по наслышке. Конечно, если это для вас приемлемо.

1. Частично я ответил г-ну 4arodej. Но добавлю: в этом простом "трехгрошовом" доказательстве использован абсолютно тривиальный математический факт (типа 2х2=4), но который, как мне представляется, никогда не был использован в математике (через неделю расскажу).
2. Что в моих силах, расскажу.
3. Г-ну ${Someone}$ поклон.
4. Не откажусь, если только не слишком мудрено.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 21:43 


24/11/06
538
г.Донецк,Украина
Сорокин Виктор писал(а):
4. Не откажусь, если только не слишком мудрено.

Посмотрите: "Доказательство БТФ" ${Iosif1}$.
Советую начинать с конца. Там вариант, когда одно из оснований содержит больше одного сомножителя $n$.
Если можно, то отвечать в той же теме.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2007, 06:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
Сорокин Виктор писал(а):
2. Спасибо за решение. Перевариваю. Хочу понять, почему $x, y, z, a, b, c$ окажутся взаимопростыми.

Ну это лишь намётки, а не решение. Если $a$ и $b$ взаимно просты, то существуют $u$ и $v$ такие, что $au+bv=1$. Найти их можно, применяя алгоритм Евклида или разлагая в цепную дробь число $\frac{a}{b}$. Тогда частное решение уравнения $ax+bv=cz$ для любого фиксированного $z$ очевидно: $x_0=czu, \ y_0=czv$, а общее тогда
$x=x_0 + bt, \ y=y_0 - at$. Взаимная прстота $a, b, c$, насколько я понимаю у Вас должна предполагаться, а взаимную простоту $x, y, z$ надо получать за счёт выбора $t$.
Было бы ради чего. Не очень понятно желание, чтобы все 6 чисел $x, y, z, a, b, c$ были попарно взаимно просты.
Есть у меня некоторое подозрение, относительно той связи с диофантовым уравнением, которую Вы могли увидеть, но боюсь, что на этом пути у Вас возникнут проблемы уже на уровне различения случаев $n=2$ и $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.07.2007, 20:15 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Сорокин Виктор писал(а):
4arodej писал(а):
интересно бы почитать новое док-во FLT ))

Его суть - рассматриваемое здесь диофантово уравнение, вытекающее из равенства Ферма за 3-4 простейших логических операций над хорошо известными формулами. Я его приведу спустя некоторое время - даже если диофантово уравнение будет иметь решение с разными значениями неизвестных. Но хотелось бы убедиться, что такого решения нет.

=========

Вот последние находки по ВТФ:

Доказательство проводится в базе с простым основанием $n$. Все числа в тексте целые.

Вот известная алгебраическая база из теории равенства Ферма:

Пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.
(1a°) $A+B-C = u = dn^k$, где $k>1$ и $d$ не кратно $n$.

Случай 1: число $ABC$ не кратно $n$. Тогда:

(2°) $C^n-B^n=(C-B)P$, где $C-B=a'^n, P=a''^n$,
$C^n-A^n=(C-A)Q$, где $C-A=b'^n, Q=b''^n$,
$A^n+B^n=(A+B)R$, где $A+B=c'^n, R=c''^n$;

(3°) числа $a', a'',  b', b'', c', c''$ взаимопростые;

(4°) $A=a'a'', B=b'b'', C=c'c''$.

(5°) Важные равенства:
$a'^n + b'^n = 2c'c'' – (A+B)=c'(2c''-c'^{n-1})$,
$c'^n - b'^n = 2a'a'' – (C-B) = c'(2a''-a'^{n-1})$,
$c'^n - a'^n = 2b'b'' – (C-A) = c'(2b''-b'^{n-1})$.
========================

[Текст курсивом можно не читать. [i]Если бы удалось показать, что в равенствах 6° числа в парах
(5b°) $ (a'+b') и c', (c'-b') $ и $a', (c'-a') и b'$
являются взаимопростыми, то доказательство Великой теоремы Ферма не составило бы большого труда. Однако эта задача представлялась неразрешимой. Но на днях я обратил внимание на тавтологический факт: произведение простых чисел оканчивающихся на $1$ и произведение чисел другого вида являются взаимопростыми числами.
А учитывая известный факт, что
(5c°) все простые делители чисел $P, Q, R$ имеют вид $sn+1$ (не считая единственного $n$ в случае, если одно из чисел $A, B, C$ кратно $n$), мы находим, что
(5d°) все простые делители чисел $A, B, C$ иные, нежели вида $sn+1$, содержатся в числах $a', b', c'$. (К таким делителям относится, в частности, простое число $2$).
(Возможно, в равенстве Ферма числа $a', b', c'$ состоят только из сомножителей отличных от $sn+1$).
И теперь – согласно 9° – в 6° $a'^n + b'^n$, или
(5e°) $(a' + b')R' = 2c'c'' - (A+B)=c'(2c''-c'^{n-1})$,
все сомножители числа $c'$ вида не $sn+1$ содержатся и в числе $(a'+b') $.
Таким образом, остается открытым вопрос с простыми делителями чисел $a', b', c'$ вида $sn+1$. Хорошо было бы показать, что число $c'$ является взаимопростым с числом $T$.

***

Другой путь ведет к линейным диофантовым уравнениям.
Обозначим произведения простых сомножителей, не оканчивающихся на цифру $1$, в каждом из чисел $a', b', c'$ буквами со звездочками: $a^*, b^*, c^*$ (и теперь $a'=a^*x, b'=b^*y, c'=c^*z$). Тогда равенства (5e°), учитывая (5d°), порождают систему трех линейных диофантовых уравнений:
$a^*x + b^*y = c^*t$,
$c^*z - b^*y = a^*v$,
$c^*z - a^*x = b^*w$,
где числа $a^*, b^*, c^*, x, y, z, t, v, w$ взаимопростые.
(Это и послужило поводом для данной темы на форуме.)
Интересно, что покажет анализ этой системы?

=================================================================
=================================================================

Доказательство ВТФ (Случай 1: $ABC$ не кратно $n$)

Пусть четным является число $C$ (следовательно и числа $c'$ и $a'+b'$) и оно кратно $4$.
Тогда из последних двух равенств 5° мы находим
(6°) $a'' = (c'^n - b'^n + a'^n)/(2a') $,
$b'' = (c'^n - a'^n + b'^n)/(2b') $.
Откуда
(7°) $a'' - b'' = [(b'-a')c'^n + (a'+b')(a'^n-b'^n)]/(2a'b') $,
где четные числа $b'-a'$ и $a'^n-b'^n$ на $4$ не делятся, а числа $c'$ и $a'+b'$ на $4$ делятся. Следовательно, число $a'' - b''$ (следовательно и число $P - Q$) делится на $4$.

С другой стороны, из школьныхформул для $P$ и $Q$ видно, что числа $P$ и $Q$ представимы в виде $4p+1$ и $2q+1$, где $q$ нечетно, и тогда разность чисел $P$ и $Q$ на 4 не делится.
И мы пришли к противоречию.

Если же четное число число c на $4$ не делится, то тогда мы аналогичным образом рассматриваем пары чисел $a'' + b'' [= [(b'+a')c'^n - (a'-b')(a'^n-b'^n) ]/(2a'b')] $ и $P + Q$ – с тем же результатом.

Доказательство (с помощью того же самого аппарата) Случая 2 ($ABC$ кратно $n$) будет представлено сразу же после признания верным доказательства Случая 1.

(2007-08-02)
***
Суть противоречия:
Если числа $a$ и $b$ не кратны $n$, то в одной из пар четных чисел $(a'' + b'', P+Q)$ и $(a'' - b'', P-Q)$
первое число кратно $4$, а второе не кратно $4$.

Итак, в конце туннеля забрезжил свет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 15:17 


05/08/07
206
В связи со сбоем в работе сервера сайта я был вынужден поменять имя с «Виктора Сорокина» на «В.Сорокина». Мою просьбу восстановить работоспособность предыдущего ника Администрация сайта пока не удовлетворила.
==================
А поскольку за несколько дней со дня публикации доказательства (2 августа) никаких замечаний на него ни на каких математических формах не поступило, я публикую его в более аккуратном виде.

Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.

Вот известные положения, многократно обсужденные на математических форумах.
Итак, пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.
И пусть пока число $ABC$ не кратно $n$. Тогда:
(2°) $C^n-B^n=(C-B)P$, где $C-B=a'^n, P=a''^n$,
$C^n-A^n=(C-A)Q$, где $C-A=b'^n, Q=b''^n$,
$A^n+B^n=(A+B)R$, где $A+B=c'^n, R=c''^n$,
[это следует из простой леммы: если числа $A$ и $B$ взимопростые и число $A+B$ не кратно $n$, то числа $A+B$ и $R = \frac{A^n+B^n}{A+B}$ являются взаимопростыми (ибо $R=(A+B)^2T+nAB)$];
(3°) числа $a', a'',  b', b'', c', c''$ попарно взаимопростые;
(4°) $A=a'a'', B=b'b'', C=c'c''$.

(5°) Важные равенства:
$c'^n - b'^n = 2a'a'' - (C-B)$,
$c'^n - a'^n = 2b'b'' - (C-A)$,
$a'^n + b'^n = 2c'c'' - (A+B)$, или

(5°a) $(A+B) - b'^n = 2a'a'' - a'^n $,
$(A+B)- a'^n = 2b'b'' - b'^n $,
$a'^n + b'^n = 2c'c'' - (A+B)$,
откуда (из первых двух равенств) находим числа $a''$ и $b''$:
(6°) $a'' = \frac{(A+B) - b'^n + a'^n}{2a'}$,
$b'' = \frac{(A+B) - a'^n + b'^n}{2b'}$.
И наконец, мы находим две формулы, лежащие в основе доказательства ВТФ:
(7a°) $a'' - b'' =\frac{(b'-a')(A+B) + (a'+b')(a'^n-b'^n)}{2a'b'}$,
(7b°) $a'' + b'' =\frac{(b'+a')(A+B) - (a'-b')(a'^n-b'^n)}{2a'b'}$.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

Пусть для определенности числа $A$ и $B$ не кратны $n$. Легко видеть, что формулы 7° остаются верными и в случае, если число $C$ кратно $n$.
Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a'=…01, b'=…01$ [или $a'=…11, b'=…11$], то $a''+ b''=…00$ , но $P+Q=…10$;
b) если число $a'+b'$ оканчивается на $k$ нулей, то и число $a''-b''$ оканчивается на $k$ нулей, но число $P-Q$ оканчивается на $k+1$ нулей [т.к. число $P-Q$ делится на $A-B$ и, кроме того, на общий делитель чисел $c и $A+B$];
c) если $a'=…0, b'=…1$ [или $a'=…1, b'=…0$], то $a''- b''=…1$, т.е. нечетно.

Если число $A$ кратно $n$, то берутся числа $c'', b'', R, Q$. Их анализ приводит к аналогичным противоречиям:

(8a°) $c'' - b'' = \frac{(c'-a')(C+B) - (c'+b')(C-B)}{2a'b'}$,
(8b°) $c'' + b'' = \frac{(c'+a')(C+B) - (c'-b')( C-B)}{2a'b'}$.

Учитывая школьные формулы для многочленов $R и $Q$, легко видеть, что число $R - Q$ делится на четное число $C+B$ и, кроме того, на общий делитель четных чисел $A и $C-B$. Следовательно, число $C+B$ делится на 2 лишь в первой степени.
Рассмотрим числа $c'', b'', R, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $c'=…01, b'=…01$ [или $c'=…11, b'=…11$], то $c''+ b''=…00$ , но $R+Q=…10$;
b) если число $c'+b'$ оканчивается на $k$ нулей, то и число $c''-b''$ оканчивается на $k$ нулей, но число $R-Q$ оканчивается на $k+1$ нулей [т.к. число $R-Q$ делится на $C-B$ и, кроме того, на общий делитель чисел $A и $C+B$];
c) если $c'=…0, b'=…1$ [или $c'=…1, b'=…01$], то $c''- b''=…1$, т.е. нечетно.

(Следует иметь в виду, что число $R [аналогично и числа $P, Q$] является четным лишь в случае, если и $A и $B$ являются четными.)

Итак, ВТФ полностью доказана.

Виктор Сорокин

Мезос, 2 агуста, 2007

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 16:06 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$], то $a''+ b''=…00$...

$$01+01=10\not=\ldots00$$
$$11+11=110\not=\ldots00$$
Или я чего-то не понимаю?
Бинарная система --- она же двоичная?
(То, что номер этого сообщения 111, --- чистая случайность)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 18:40 


05/08/07
206
Алексей К. писал(а):
В.Сорокин писал(а):
Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$], то $a''+ b''=…00$...

$$01+01=10\not=\ldots00$$
$$11+11=110\not=\ldots00$$
Или я чего-то не понимаю?
Бинарная система --- она же двоичная?
(То, что номер этого сообщения 111, --- чистая случайность)


Конечно, Вы правы: нелепица возникла из-за лишних (двойных) штрихов в $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$]. Большое спасибо! Я уже внес исправления в основной текст.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 18:58 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
...я публикую его в более аккуратном виде.

Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.

Вот известные положения, многократно обсужденные на математических форумах.
Итак, пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.

По-моему, в тексте почти нет целых чисел (2 попадалось).
(или речь идёт о переменных $A,B,C,P,a^\prime$, etc??? Они в какой-то базе?).
"База с простым основанием" --- это система счисления с простым основанием?
Простое основание системы $n$ и показатель степени в $A^n+B^n = C^n$ --- одно и то же число?
Чтобы понять доказательство --- надо штудировать форумы, или этот текст самодостаточен?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 21:45 


05/08/07
206
Алексей К. писал(а):
1. По-моему, в тексте почти нет целых чисел (2 попадалось).
(или речь идёт о переменных $A,B,C,P,a^\prime$, etc???
2. Они в какой-то базе?).
"База с простым основанием" --- это система счисления с простым основанием?
3. Простое основание системы $n$ и показатель степени в $A^n+B^n = C^n$ --- одно и то же число?
4. Чтобы понять доказательство --- надо штудировать форумы, или этот текст самодостаточен?

1. Все буквы в тексте обозначают целые числа.
2. В Введении все свойства равенства Ферма даются и вывводятся в простой базе $n$, а само доказательство проводится в бинарной системе.
3. Да, одно и то же.
4. Не нужно. Смотрите доказательство в предположении, что во вводной части ошибок нет. Если расчеты в a), b), c) верны, то переходите к вводной части. Готов ответить на любые вопросы.
Желаю интересных размышлений.
В.С.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.08.2007, 12:55 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.


Т.е. если я решил рассмотреть частный случай $n=3$, то число $A$ в Вашем описании дано в троичной системе счисления. А если я решил рассмотреть частный случай $n=11$, то число $A$ в Вашем описании дано в 11-ричной системе счисления... Я бы, наверное, понял разницу, если бы речь шла о числе 20. Но с числом $A$ --- ??? Где в доказателсьве как-то фигуриует то, что число $A$ записано в "базе с простым основанием $n$"???
Зачем эти излишества?


В.Сорокин писал(а):
Пусть для определенности числа $A$ и $B$ не кратны $n$. Легко видеть.....................................................................

Если число $a$ кратно $n$, то

Это вроде как альтернатива. Но тогда во второй строке $A$, а не $a$?


В.Сорокин писал(а):
Итак, ВТФ полностью доказана.

Допустим (а как жить дальше???). Но ВТФ, как мне казалось, простыми $n$ не ограничивалась.

Не придирки это. Ляпы-алогизмы бросаются в глаза и ставят барьер. bot прав.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.08.2007, 15:48 


05/08/07
206
Алексей К. писал(а):
1. Т.е. если я решил рассмотреть частный случай $n=3$, то число $A$ в Вашем описании дано в троичной системе счисления. А если я решил рассмотреть частный случай $n=11$, то число $A$ в Вашем описании дано в 11-ричной системе счисления... Я бы, наверное, понял разницу, если бы речь шла о числе 20. Но с числом $A$ --- ??? Где в доказателсьве как-то фигуриует то, что число $A$ записано в "базе с простым основанием $n$"???
Зачем эти излишества?

В.Сорокин писал(а):
Если число $a$ кратно $n$, то

2. Это вроде как альтернатива. Но тогда во второй строке $A$, а не $a$?

В.Сорокин писал(а):
Итак, ВТФ полностью доказана.

3. Допустим (а как жить дальше???).
4. Но ВТФ, как мне казалось, простыми $n$ не ограничивалась.
5. Не придирки это. Ляпы-алогизмы бросаются в глаза и ставят барьер.
6. bot прав.

=========
1. Буква $n$ обозначает любое простое число большее двух, и при любом таком простом числе формулы 2-7 верны.
2. Вы опять правы; если удастся - исправлю в моем тексте. Спасибо за замечание.
3. Дальше жить будет трудно, особенно ферматистам, для которых поиск доказательства являлся важным смыслом их жизни. Если мое доказательство окажется верным, то прошу у них извинения.
4. Разумеется. Но для специалистов в теории ВТФ этого достаточно: для 4-ой стпени доказательство отдельное, а для степеней кратных $n>2$ доказательство сводится к к простой степени $n$.
5. Давайте еще. Я из тех, кто смотрит в книгу, а видит фигу. В 3-м классе у нас был предмет Чистописание. Так я переписать безошибочно слово из шести букв не мог: читаю одно, а пишу другое. А что делать?
6. И я говорю, что он прав.
Однако, еще не вечер...
Вот если я ошибся в выводе формулы 7°, то дело швах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 466 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 32  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group