На основании известной формулы, основанной на решете Эратосфена, для определения количества простых чисел не превосходящих х (теорема 335 Бухштаб):
![$\pi(x) = \pi(\sqrt{x})-1+[x]-\sum_{p_i|M}{[x/p_i]}+\sum_{p_i p_j|M}{[x/p_i p_j]}- ... -\sum_{p_1 p_2...p_r|M}{[x/p_1 p_2 ... p_r]},$ $\pi(x) = \pi(\sqrt{x})-1+[x]-\sum_{p_i|M}{[x/p_i]}+\sum_{p_i p_j|M}{[x/p_i p_j]}- ... -\sum_{p_1 p_2...p_r|M}{[x/p_1 p_2 ... p_r]},$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/b/8fb92509650f053c64430a9fcf288fb182.png)
(4)
где

, а

.
Для большого натурального х на основании (4) получим плотность простых чисел f(n) на интервале от 2 до х:

(5)
где

.
Оценка ошибки формулы (5).
В сумме с делителем одним простым числом максимальная ошибка в каждом члена равна 1/x, где х - большое натуральное число. Так как количество членов в этой сумме на основании асимптотического закона простых чисел равно

, то максимальная ошибка в сумме с одним простым делителем равна

. Поскольку перед суммой стоит минус, то при данной ошибке выражение (5) возрастает.
Перед суммой с 2-мя простыми делителями стоит плюс, поэтому ошибка в этой сумме должна уменьшить общую ошибку выражения (5), поэтому посчитаем ее нулевой.
Перед суммой с 3-мя простыми делителями стоит знак минус, поэтому ошибка в ней добавится к общей ошибке.
Максимальная ошибка в каждом члене не превосходит 1/x, а количество членов определяется как число сочетаний -

.
Если умножить на 1/x, то получим

.
Таким образом, из-за первого члена, ошибка неограниченно возрастает. Аналогично получается с другими нечетными суммами с большим количеством членов.
Может я где-то ошибся, но результат странный.
По-моему логично, исходя из решета Эратосфена и предположения о независимости остатков, определять вероятность события А, что большое натуральное x является простым числом по формуле:

Ваши собственные оценки дают в этом случае относительную ошибку на уровне 5-6 процентов.