Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости

[R_e_n]

Из книги Прасолова "Геометрия"

Теорема (о свойствах прямых и окружностей). В декартовой модели евклидовой плоскости через две любые различные точки проходит прямая, и притом только одна.
Доказательство.
Пусть $Y=(y_1, y_2)$ и $Z=(z_1, z_2)$ - две различные точки. Если $ y_1=z_1$, искомой прямой будет прямая, заданная уравнением $x_1=y_1$. А если первые координаты точек не совпадают, искомой прямой будет множество таких точек $X=(x_1, x_2)$, что
$x_2-\frac{z_2-y_2}{z_1-y_1}\cdot(x_1-y_1)=y_2$.

Мы доказали существование искомых объектов. Читателю предоставляется доказать их единственность.

Что то я не знаю как это доказать.

Пусть таких прямых две, тогда они задаются одинаковыми уравнениями. Выберем по одной точке на каждой прямой, находящейся на расстоянии $a$ от точки $Y$. Подставим в уравнения и увидим, что они совпадают. Поскольку $a$ произвольное, то все точки совпадают.

Верно ли мое рассуждение?

[angor6]

R_e_n

R_e_n в сообщении #742947 писал(а):

Пусть таких прямых две, тогда они задаются одинаковыми уравнениями.

По-моему, из этого предположения сразу следует, что прямые совпадают, потому что прямая определяется как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению $a_1x_1+a_2x_2=b.$ К этому виду приводится уравнение из доказательства существования прямой, проходящей через две точки.

Из текста, предшествующего указанной Вами теореме, неясно, какие факты предполагаются известными и подлежащими использованию при доказательстве единственности прямой, проходящей через две заданные точки. Например, известно ли, что линейному уравнению прямой при заданном $b$ соответствует единственная пара чисел $a_1,~a_2? Если да, то единственность прямой в доказательстве не нуждается.

Предположим, что о единственности решения линейного уравнения неизвестно. Тогда можно записать следующие два уравнения прямой: $a_1x_1+a_2x_2=b,~c_1x_1+c_2x_2=b.$ Вычитая, например, из первого уравнения второе, получим $(a_1-c_1)x_1+(a_2-c_2)x_2=0.$ Это уравнение обращается в тождество при $a_1=c_1,~a_2=c_2.$ Тем самым доказывается единственность уравнения, задающего прямую. Казалось бы, всё просто. Но то же уравнение обращается в тождество при $(a_1-c_1)x_1=-(a_2-c_2)x_2.$ А интерпретировать этот факт не так-то и просто...

Книга интересная. Но вряд ли она может быть использована при изучении геометрии, например, школьниками нематематических школ. Слишком много неочевидного авторы сочли за очевидное и "отдали на откуп" читателю.

Я выразил свою точку зрения. Не исключено, что она ошибочна.

[iifat]

Странное что-то пишете. Это уравнение пучка прямых, проходящих через точку $(x_1,x_2)$.

[angor6]

iifat

iifat в сообщении #743820 писал(а):

Странное что-то пишете. Это уравнение пучка прямых, проходящих через точку $(x_1,x_2)$.

Что именно является странным? Кстати, может быть, у Вас есть идея, как доказать единственность евклидовой прямой, проходящей через две заданные точки, в декартовой геометрии?

[Slumber]

Цитата:

доказать единственность евклидовой прямой, проходящей через две заданные точки, в декартовой геометрии?

Ну опять-таки, от чего начинать. Например, много где доказывается изоморфизм декартовой системы координат евклидовому векторному пространству с афинной системой координат $Oe_1...e_n$ (слегка некорректно выразился, ну "точки - векторы").

Понятно, что евклидовым назвали неспроста, и все эти аксиомы там выводятся.
Если определить понятие прямой через векторы
$\forall Z: \ \vec{Z_0Z}|| \vec{p}$,
$\vec{r} = \vec{r_1} + k\vec{p_1} $ , а точки - как $ \vec{OZ_1} $ и $ \vec{OZ_2} $ , это легко доказать, потому, что прямые у нас не совпадают если или $ \vec{p_1} \neq \vec{p_2} $ , или $ \vec{p_1} = \vec{p_2} $ , но $ \vec{r_1} \neq \vec{r_2} + k\vec{p_2}$ . Ну, или у нас есть метрика, тогда прямая, это линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Тогда можно попробовать показать, что первое с векторами этому удовлетворяет.

Тогда система
$\vec{OZ_1} = \vec{r_1} + k_1\vec{p_1}$
$\vec{OZ_1} = \vec{r_2} + k_2\vec{p_2}$
$\vec{OZ_2} = \vec{r_1} + k'_1\vec{p_1}$
$\vec{OZ_2} = \vec{r_2} + k'_2\vec{p_2}$
Дает сначала $\vec{Z_1Z_2} = t_1\vec{p_1} = t_2\vec{p_2}$ , откуда получаем противоречие с первым "или", а также, что $\vec{r_1} + k_1\vec{p_1} = \vec{r_2} + k_2\vec{p_2}$ , что, с учетом первого результата, противоречит второму "или". Ну если точки не совпадают, конечно.

Переход к уравнениям прямой в координатах - следующий шаг, его легко сделать от векторного уравнения. Уже достаточно показать только биекцию между этими двумя записями - тогда результат, полученный на векторах, следует автоматически. Это связь между векторным, параметрическим, каноническим уравнениями. Ясно тогда, что можно было доказать и на уравнениях в координатах - просто переписать эти уравнения с векторами.

$\left( \begin{matrix} x_z_1 \\ y_z_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) + k \left( \begin{matrix} x_p_1 \\ y_p_1 \end{matrix} \right)$
Это приводит к каноническому уравнению
$\frac{x_z_1-x_1}{x_p_1} = k_1 = \frac{y_z_1-y_1}{y_p_1}$,
$ \frac{x_z_1-x_2}{x_p_2} = k_2 = \frac{y_z_1-y_2}{y_p_2}$
И еще раз
$\frac{x_z_2-x_1}{x_p_1} = k'_1 = \frac{y_z_2-y_1}{y_p_1}$,
$ \frac{x_z_2-x_2}{x_p_2} = k'_2 = \frac{y_z_2-y_2}{y_p_2}$
Внизу - координаты направляющего вектора, могут быть и нули, это условная запись.

(Слегка перемудрил, поправил) По координатам $x_z_1-x_z_2 = k_1x_p_1 - k'_1x_p_1 = k_2x_p_2-k'_2x_p_2$, откуда направляющие пропорциональны - можно получить из уравнений вычитанием при общем знаменателе, дальше автоматически $x_1 = x_2, y_1=y_2$.

[iifat]

Вообще говоря, задача приведена не полностью. Не вполне ясно, что называет Прасолов прямыми в евклидовом пространстве. То бишь, в книге наверняка прпиведено определение, но ТС его не приводит. Похоже, что прямой называется множество точек $(x_1,x_2)$, удовлетворяющих уравнению $ax_1+bx_2=c$ с хотя бы одним из $a,b$ ненулевым.
Пусть у нас две точки $(x_1,x_2)$ и $(y_1,y_2)$. Тогда наша прямая удовлетворяет системе

$$ \left\{\begin{matrix}ax_1+bx_2=c\\ay_1+by_2=c\end{matrix}\right. $$

, откуда

$$ \left\{\begin{matrix}a(y_1-x_1)+b(y_2-x_2)=0\\c=ay_1+by_2\end{matrix}\right. $$

Предположим для определённости, что $x_1\ne y_1$. Тогда возможные уравнения нашей прямой

$$ ax-\frac{y_2-x_2}{y_1-x_1}ay=ay_1-\frac{y_2-x_2}{y_1-x_1}ay_2 $$

при любом $a$ кроме нуля. Осталось доказать, что если какая-нибудь точка удовлетворяет уравнению при каком-нибудь $a\ne0$, то она удовлетворяет всем приведённым.