2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение03.07.2013, 19:18 


12/10/12
134
Из книги Прасолова "Геометрия"

Теорема (о свойствах прямых и окружностей). В декартовой модели евклидовой плоскости через две любые различные точки проходит прямая, и притом только одна.
Доказательство.
Пусть $Y=(y_1, y_2)$ и $Z=(z_1, z_2)$ - две различные точки. Если $ y_1=z_1$, искомой прямой будет прямая, заданная уравнением $x_1=y_1$. А если первые координаты точек не совпадают, искомой прямой будет множество таких точек $X=(x_1, x_2)$, что
$x_2-\frac{z_2-y_2}{z_1-y_1}\cdot(x_1-y_1)=y_2$.

Мы доказали существование искомых объектов. Читателю предоставляется доказать их единственность.

Что то я не знаю как это доказать.

Пусть таких прямых две, тогда они задаются одинаковыми уравнениями. Выберем по одной точке на каждой прямой, находящейся на расстоянии $a$ от точки $Y$. Подставим в уравнения и увидим, что они совпадают. Поскольку $a$ произвольное, то все точки совпадают.

Верно ли мое рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение06.07.2013, 12:51 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
R_e_n
R_e_n в сообщении #742947 писал(а):
Пусть таких прямых две, тогда они задаются одинаковыми уравнениями.

По-моему, из этого предположения сразу следует, что прямые совпадают, потому что прямая определяется как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению $a_1x_1+a_2x_2=b.$ К этому виду приводится уравнение из доказательства существования прямой, проходящей через две точки.

Из текста, предшествующего указанной Вами теореме, неясно, какие факты предполагаются известными и подлежащими использованию при доказательстве единственности прямой, проходящей через две заданные точки. Например, известно ли, что линейному уравнению прямой при заданном $b$ соответствует единственная пара чисел $a_1,~a_2? Если да, то единственность прямой в доказательстве не нуждается.

Предположим, что о единственности решения линейного уравнения неизвестно. Тогда можно записать следующие два уравнения прямой: $a_1x_1+a_2x_2=b,~c_1x_1+c_2x_2=b.$ Вычитая, например, из первого уравнения второе, получим $(a_1-c_1)x_1+(a_2-c_2)x_2=0.$ Это уравнение обращается в тождество при $a_1=c_1,~a_2=c_2.$ Тем самым доказывается единственность уравнения, задающего прямую. Казалось бы, всё просто. Но то же уравнение обращается в тождество при $(a_1-c_1)x_1=-(a_2-c_2)x_2.$ А интерпретировать этот факт не так-то и просто...

Книга интересная. Но вряд ли она может быть использована при изучении геометрии, например, школьниками нематематических школ. Слишком много неочевидного авторы сочли за очевидное и "отдали на откуп" читателю.

Я выразил свою точку зрения. Не исключено, что она ошибочна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение06.07.2013, 13:58 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Странное что-то пишете. Это уравнение пучка прямых, проходящих через точку $(x_1,x_2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение06.07.2013, 14:11 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
iifat
iifat в сообщении #743820 писал(а):
Странное что-то пишете. Это уравнение пучка прямых, проходящих через точку $(x_1,x_2)$.

Что именно является странным? Кстати, может быть, у Вас есть идея, как доказать единственность евклидовой прямой, проходящей через две заданные точки, в декартовой геометрии? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение07.07.2013, 23:14 


17/12/12
91
Цитата:
доказать единственность евклидовой прямой, проходящей через две заданные точки, в декартовой геометрии?


Ну опять-таки, от чего начинать. Например, много где доказывается изоморфизм декартовой системы координат евклидовому векторному пространству с афинной системой координат $Oe_1...e_n$ (слегка некорректно выразился, ну "точки - векторы").

Понятно, что евклидовым назвали неспроста, и все эти аксиомы там выводятся.
Если определить понятие прямой через векторы
$\forall Z: \  \vec{Z_0Z}|| \vec{p}$,
$\vec{r} = \vec{r_1} + k\vec{p_1} $ , а точки - как $ \vec{OZ_1} $ и $  \vec{OZ_2} $ , это легко доказать, потому, что прямые у нас не совпадают если или $ \vec{p_1} \neq \vec{p_2} $ , или $ \vec{p_1} = \vec{p_2} $ , но $ \vec{r_1} \neq \vec{r_2} + k\vec{p_2}$ . Ну, или у нас есть метрика, тогда прямая, это линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Тогда можно попробовать показать, что первое с векторами этому удовлетворяет.

Тогда система
$\vec{OZ_1} = \vec{r_1} + k_1\vec{p_1}$
$\vec{OZ_1} = \vec{r_2} + k_2\vec{p_2}$
$\vec{OZ_2} = \vec{r_1} + k'_1\vec{p_1}$
$\vec{OZ_2} = \vec{r_2} + k'_2\vec{p_2}$
Дает сначала $\vec{Z_1Z_2} = t_1\vec{p_1} = t_2\vec{p_2}$ , откуда получаем противоречие с первым "или", а также, что $\vec{r_1} + k_1\vec{p_1} = \vec{r_2} + k_2\vec{p_2}$ , что, с учетом первого результата, противоречит второму "или". Ну если точки не совпадают, конечно.

Переход к уравнениям прямой в координатах - следующий шаг, его легко сделать от векторного уравнения. Уже достаточно показать только биекцию между этими двумя записями - тогда результат, полученный на векторах, следует автоматически. Это связь между векторным, параметрическим, каноническим уравнениями. Ясно тогда, что можно было доказать и на уравнениях в координатах - просто переписать эти уравнения с векторами.

$\left( \begin{matrix} x_z_1 \\ y_z_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) + k \left( \begin{matrix} x_p_1 \\ y_p_1 \end{matrix} \right)$
Это приводит к каноническому уравнению
$\frac{x_z_1-x_1}{x_p_1} = k_1 = \frac{y_z_1-y_1}{y_p_1}$,
$ \frac{x_z_1-x_2}{x_p_2} = k_2 = \frac{y_z_1-y_2}{y_p_2}$
И еще раз
$\frac{x_z_2-x_1}{x_p_1} = k'_1 = \frac{y_z_2-y_1}{y_p_1}$,
$ \frac{x_z_2-x_2}{x_p_2} = k'_2 = \frac{y_z_2-y_2}{y_p_2}$
Внизу - координаты направляющего вектора, могут быть и нули, это условная запись.

(Слегка перемудрил, поправил) По координатам $x_z_1-x_z_2 = k_1x_p_1 - k'_1x_p_1 = k_2x_p_2-k'_2x_p_2$, откуда направляющие пропорциональны - можно получить из уравнений вычитанием при общем знаменателе, дальше автоматически $x_1 = x_2, y_1=y_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственность прямой через 2 точки на евклидовой плоскости
Сообщение08.07.2013, 00:40 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Вообще говоря, задача приведена не полностью. Не вполне ясно, что называет Прасолов прямыми в евклидовом пространстве. То бишь, в книге наверняка прпиведено определение, но ТС его не приводит. Похоже, что прямой называется множество точек $(x_1,x_2)$, удовлетворяющих уравнению $ax_1+bx_2=c$ с хотя бы одним из $a,b$ ненулевым.
Пусть у нас две точки $(x_1,x_2)$ и $(y_1,y_2)$. Тогда наша прямая удовлетворяет системе $$
\left\{\begin{matrix}ax_1+bx_2=c\\ay_1+by_2=c\end{matrix}\right.
$$, откуда$$
\left\{\begin{matrix}a(y_1-x_1)+b(y_2-x_2)=0\\c=ay_1+by_2\end{matrix}\right.
$$Предположим для определённости, что $x_1\ne y_1$. Тогда возможные уравнения нашей прямой $$
ax-\frac{y_2-x_2}{y_1-x_1}ay=ay_1-\frac{y_2-x_2}{y_1-x_1}ay_2
$$ при любом $a$ кроме нуля. Осталось доказать, что если какая-нибудь точка удовлетворяет уравнению при каком-нибудь $a\ne0$, то она удовлетворяет всем приведённым.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group