гипотетическая теория устойчивости

[TR63]

Почему гипотетическая? Потому что базируется на гипотезе:

Гипотеза.

Пусть с помощью операций "сложение" и "умножение" задано множество M, имеющее свойство $f_1$, т.е. $M(f_1)$. Для множества M рассматривается свойство $f_2$ более простое, чем $f_3$. Свойства заданы с помощью этих же операций. Тогда, если мощность множества с отрицанием свойства $f_2$ равна единице (возможно и двум, но при особом условии) и непрерывно отображается $M(\bar f)_2$ в $M(f_3)$ или в $M(\bar f)_3$, то $M(f_2)$ непрерывно относительно $f_3$ или $(\bar f)_3$, т.е., какое свойство имеет место, достаточно определить в одной точке.

В гипотетической теории устойчивости "затравочными" элементами будут многочлены степени $n=1;2$. Условия устойчивости, характерные для них, будем экстраполировать на многочлены степени $n>2$. Надо лишь проверить количество задействованных операций. (Для $n=3$ область устойчивости можно определить простым стандартным способом, но новым(?) (мною не встреченным). Эта область будет совпадать с официальной (по Гурвицу)). Если действие гипотезы не понятно, то на неё можно не обращать внимания. В данной теме важным является новая методология определения области устойчивости, правда, гипотетическая, т.е. ещё не доказанная, но дающая верные результаты при наименьших затратах времени.


Определение.
$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+\alpha$
$\{a_i>0\}$-фиксированные; $ \alpha$-переменная
Точка $ \alpha$ называется симметрической (СТ), если f(x) имеет симметричные корни.
Замечание
Существование симметричных корней можно определить с помощью теоремы Орландо. (Более простую и практичную формулу можно вывести самостоятельно в несколько строк)

Определение (моё)
Левым полунормальным делителем (ЛПД) называется точка, для которой в области правее ($-\infty$;ЛПД) существует не более двух $(CT)^{+}$; если две, то $(CT^+)$, которая не стремится к нулю при $\alpha\to 0$,-это первая из возможных типов (CT)-{стремящиеся к нулю; нестремящиеся к нулю}

При $n=1;2$ (ЛПД) имеет свойства:
1). (ЛПД)=0
2). (ЛПД; первая встречная$(CT)^{+}_1$)-область устойчивости.
3). $((CT)^{+}_1;$+\infty)$$-непрерывная относительно устойчивости область.
4). ($-\infty$; ЛПД)-область абсолютной неустойчивости.

Согласно гипотезе рассматриваем отображения и экстраполируем результат.

$M(f_1)$=\{множество уравнений, имеющих ЛПД\}
$M(f_2)$={множество уравнений, могущих потенциально для каждого конкретного n иметь симметричные корни}

$M(f_3)$={уравнения, для которых область устойчивости, если она существует, определяется (ЛПД), имеющим свойства (2;3;4)}

Прогноз гипотетической теории устойчивости полностью подтверждается Гурвицем (следует проверить при $n=6$; нет ли ошибок; рассматривала гироскопические многочлены) для $n=3;4$. Проверка делается элементарно (на уровне квадратных уравнений). Если этот момент всё-таки не понятен, то могу расписать подробнее.

Определение (моё)
Гироскопическим называется уравнение вида:

$x^6+2ax^5+(2b+a^2)x^4+2(ab+d)x^3+(2ad+b^2+c^2)x^2+2bdx+d^2=0$
Переменные (a,b,c,d) положительны.


При количестве $(CT)=1$ ЛПД=0. При $(CT)^{+}>1$ одна из двух крайних $(CT)^{+}$ может быть ЛПД. Если отсутствуют неотрицательные (СТ), то область устойчивости отсутствует, т.е. имеет место абсолютная неустойчивость.

(Аналогично этот метод можно применить к вопросу об условиях разрешимости уравнений в радикалах. Следует рассматривать поведение количества суммы симметрических и кратных точек. Всё сходится. Но, может, существует контрпример?)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин».
Причина переноса: непонятная формулировка.

Просьба сформулировать чётко определения терминов, с помощью которых Вы формулируете гипотезу. Например, вот эти термины:

TR63 в сообщении #735927 писал(а):

Пусть с помощью операций "сложение" и "умножение" задано множество M с качеством $f_1$ т.е. $M(f_1)$. Для множества M рассматривается качество $f_2$ более простое, чем $f_3$. Качества заданы с помощью этих же операций. Тогда, если мощность отрицания качества $f_2$ равна единице

желательно определить, или, хотя бы, указать ссылки на определения.
Формулки, если хотите, можете ещё поправить.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Вернул в соответствующий раздел

[migmit]

1) Что значит "множество задано с помощью операций"?

2) Множество мощности один — это, скажем так, не особенно интересный объект. В частности, все операции на нём вводятся единственным образом.

[TR63]

migmit в сообщении #742124 писал(а):

1) Что значит "множество задано с помощью операций"?

Распишу гипотезу более подробно.

Пусть с помощью операций "сложение"и "умножение" задано какое-нибудь множество $M \subset Q$, где множество Q задано аксиоматически, а злементы M имеют свойство $f_1$; $M(f_1)$ полно относительно свойства $f_1$.
Требуется определить, какая часть множества M обладает свойством $f_3$, которое является сложным, т.е. кому-то неизвестно, как это сделать (неважно, что кому-то это известо).
Тогда для множества $A \subset M$ рассматриваем свойство $f_2$ более простое, чем $f_3$, т. е. относительно $f_2$ задача легко решается. При этом $M=A(f_2)\bigcup\bar{A(f_2)}$ и $A(f_2)\bigcap\bar{A(f_2)}=\varnothing$; $M=B(f_3)\bigcup\bar{B(f_3)}$, $B(f_3)\bigcap\bar{B(f_3)}=\varnothing$.
Если мощность отрицания $A(f_2)$ равна единице и $\bar{A(f_2)}$ отображается в $B(f_3)$ или в $\bar{B(f_3)}$, то $A(f_2)$ непрерывно относительно свойства $(f_3)$ или $\bar{f_3}$, т.е., какое свойство имеет место в множестве A, достаточно определить экспериментально в одной точке.

Пример.

Пусть Q множество натуральных чисел.
$M(f_1)$ множество чётных чисел; свойство $(f_1)$ означает, что все элементы кратны двум и задано с помощью двух операций однозначно: $b=2k+0$, т.е. ноль по данному определению не является чётным числом, т. к. не имет однозначного представления.
$A(f_2)$ множество чётных чисел из M, представимых в виде суммы двух чётных чисел, т. е. $b=2k+2l$
$B(f_3)$ множество простых чисел из Q; свойство $(f_3)$ (простоты) означает, что все элементы имеют только два различных делителя.
$\bar{A(f_2)}=\{2\}$. Мощность этого множества равна единице; оно отображается в $B(f_3)$.
Число (4) отображается в $\bar{b(f_3)}$, следовательно, согласно гипотезе, все остальные отобразятся туда же. И это, действительно, так, если применить стандартное доказательство.

[bot]

Вас спросили, а Вы опять

TR63 в сообщении #742146 писал(а):

Пусть с помощью операций "сложение"и "умножение" задано какое-нибудь множество $M \subset Q$

Что означает сие заклинание?

[Deggial]

Даже с примерами как-то плохо

TR63 в сообщении #742146 писал(а):

ноль по данному определению не является чётным числом, т. к. не имет однозначного представления.

Вообще-то нуль является чётным независимо от того, какие определения кто-то где-то там даёт. Кроме того

TR63 в сообщении #742146 писал(а):

Пусть Q множество натуральных чисел.

В смысле в данном примере $Q=\mathbb{N}\cup\{0\}$?

В случае отсутствия внятных формулировок тема быстро перекочует в соседний подфорум.

[TR63]

Задаётся не просто множество, а множество, имеющее свойство. В данном примере это множество чётных чисел, задаваемых однозначным образом; т. е. ноль исключается, хотя и является чётным числом (выше есть пара опечаток; надо исправить). (Да, $Q=\mathbb{N}\cup\{0\}$).

[migmit]

TR63 в сообщении #742155 писал(а):

Задаётся не просто множество, а множество, имеющее свойство.

Так что это значит-то, партизан?

[TR63]

$B(f_3)$ множество простых чисел из M;
Число (4) отображается в $\bar{B(f_3)}$
Это исправление опечаток.

migmit,
согласна, формулировку гипотезы надо откорректировать, примерно, как в приведённом примере. Вот, Deggial говорит, что пора в соседний подфорум, так я думаю, стоит ли зря стараться. Правда, в данной теме меня больше интересует метод определения области устойчивости, а именно: почему всё сходится?

[Xaositect]

TR63 в сообщении #742432 писал(а):

Вот, Deggial говорит, что пора в соседний подфорум, так я думаю, стоит ли зря стараться

Пока Вас просят только сформулировать, что значит "свойство задано с помощью операций" или "множество задано с помощью операций" и как Вы понимаете непрерывность, потому что в посте про четные и простые числа я никакой непрерывности не вижу. Без этого просто не о чем говорить.

[TR63]

Xaositect в сообщении #742445 писал(а):

TR63 в сообщении #742432 писал(а):

что значит "свойство задано с помощью операций" или "множество задано с помощью операций" и как Вы понимаете непрерывность, потому что в посте про четные и простые числа я никакой непрерывности не вижу. Без этого просто не о чем говорить.

Xaositect,
При описании свойства (например, чётности) используются операции.
Я использую не понятие "непрерывность", а понятие "полноты относительно свойства". Например, в посте о чётных числах речь идёт о числах, задаваемых однозначно с помощью формулы. В итоге получаем все чётные числа без нуля.(Или я не поняла Ваш вопрос?)

[Xaositect]

TR63 в сообщении #742461 писал(а):

При описании свойства (например, чётности) используются операции.

Операции можно по разному использовать. Вот, скажем, множество всех факториалов можно задать с помощью сложения и умножения? а множество всех чисел вида $2^{2^n}$?

TR63 в сообщении #742461 писал(а):

Я использую не понятие "непрерывность", а понятие "полноты относительно свойства". Например, в посте о чётных числах речь идёт о числах, задаваемых однозначно с помощью формулы. В итоге получаем все чётные числа без нуля.(Или я не поняла Ваш вопрос?)

В первом посте было что-то про непрерывность. Объясните, пожалуйста, чем отличается ситуация в вашем посте про четные и простые числа, от ситуации, когда $f_3$ это не свойство "быть простым числом", а свойство "быть суммой десяти простых чисел"? При этом у нас $4$ по прежнему не имеет этого свойства, а вот дальше для больших четных оно уже будет.

[Deggial]

Попробую побыть телепатом. Думаю, TR63 пытается сказать примерно следующее.
Пусть $Q$ - множество натуральных чисел с нулём.
$f_1$ - некоторое (унарное) свойство элементов из $Q$
$M(f_1)$ - множество элементов из $Q$, обладающих свойством $f_1$.
Далее рассматриваются $f_1$ специального вида: $x$ обладает свойством $f_1$, если $x$ - значение некоторого многочлена $P_{f_1}(a_1,...,a_n)$. Ещё дальше зачем-то рассматриваются иксы, представимые многочленом $P_{f_1}$ единственным образом.
Дальше ниасилил
Что такое $A(f),B(f)$ - непонятно. Возможно, надо унифицировать обозначения.

-- 02.07.2013, 20:51 --

TR63 в сообщении #742432 писал(а):

Вот, Deggial говорит, что пора в соседний подфорум, так я думаю, стоит ли зря стараться. Правда, в данной теме меня больше интересует метод определения области устойчивости, а именно: почему всё сходится?

К сожалению, предмета для обсуждения, где всё сходится, пока нет - толком не сформулировано ничего.

[TR63]

Xaositect в сообщении #742472 писал(а):

В первом посте было что-то про непрерывность.

Да, было про непрерывность. У нас остаток (при делении на смежные классы) равен единице (одному элементу). При отображении он попадает в один из смежных множеств, полученных при втором делении. Т.е. весь остаток попадает в одно из смежных множеств. Остаток может равняться двум. Два элемента могут попасть в разные смежные множества. Это уже не будет непрерывное отображение. Но, пока мы рассматриваем остаток равный единице, непрерывность отображения следует автоматически.
Xaositect,
Я в качестве примера сформулировала конкретную задачу и решила её с помощью моей гипотезы. Если Вы считаете, что решение некорректно, скажите конкретно: где.
Я не могу (быстро) понять, о чём Ваши примеры, какое отношение имеют к моей гипотезе. Подумаю. (Жаль, компьютерное время заканчивается).
Мой пример не очень интересный. Я хотела бы рассмотреть другой пример (если не закроют, но на него надо больше времени, а его у меня сейчас мало).

-- 02.07.2013, 19:21 --

Deggial,
под всё сходится я понимаю сходятся области устойчивости, расчитанные с помощью моей гипотезы и по Гурвицу. Если они у Вас не сошлись, давайте проверим на практике. Если позволите, я сделаю расчёт (если найдется ошибка, буду очень рада, поскольку эта заноза мне изрядно надоела).