Рациональные степени (определения, терминология)

[нг]

Бор,
на этом форуме не принято указывать другим, что им делать. BTW, Lion свое решение предложил.

[незваный гость]

Позвольте мне пояснить свою точку зрения. $(-2)^2$, несомненно имеет смысл. И этот смысл мы придаем ему, рассматривая функцию $x^2$ при $x=-2$. Тоже самое относится к $(-2)^{-2}$.

Функция, которую мы рассматриваем, придавая смысл выражению, определяет свойства, которые мы ожидаем получить. Например, мы не можем говорить о значении $(-1)^{\frac13}$, поскольку мы ожидаем, что оно окажется таким же, как и $(-1)^{\frac26}$. Мы ожидаем определенного поведения при изменении показателя степени, аддитивном и мультипликативном. Но $x^y$ при неположительных $x$ этими свойствами не обладает.

Когда же мы рассматриваем $x^{-2}$, эти проблемы не появляются. Не появляются они и когда мы рассматриваем, скажем $x^x$ на множестве целых чисел, поскольку многие из операций выводят за пределы этого множества.

[bot]

Правило, которое высказал RIP и которое я поддерживаю, можно довести до маразма. Вот

незваный гость писал(а):

:evil:
Позвольте мне пояснить свою точку зрения. $(-2)^2$, несомненно имеет смысл. И этот смысл мы придаем ему, рассматривая функцию $x^2$ при $x=-2$. Тоже самое относится к $(-2)^{-2}$.

А как Вы смотрите на эту функцию? Если как на показательную функцию с основанием $x$, то $x>0$, а если как на степенную, то ... опять $x>0$ по простой причине: а как мы станем формулировать правило, в зависимости от показателя, где какая ООФ? Единственная возможность допустить неположительные $x$ - это считать $x^2$ произведением: $x^2=x\cdot x$. Обычно так и считается без дополнительных пояснений. А вспомним теперь астроиду $x^{2/3} +y^{2/3}=1$. Что же ограничиться только положительными x и y?
Нет, не ограничиваемся и даже нуль допускаем, хотя и определили показательную функцию только при положительном основании.
Какого чёрта тащить весь этот разброд в допущениях на вступительные экзамены? Не хватает что ли задач, где нет таких нюансов? А единства в этом вопросе нет и среди членов приёмных комиссий.

[незваный гость]

Дело немного не в том, как мы определяем (и доопределяем функцию), а в том, какие свойства мы от нее ожидаем (иначе наш лучший друг — это датчик случайных чисел). Когда рассматривается $f(x) = x^2$, то от нее ожидается только мультипликативность по аргументу. Это очень важное свойство, особенно в связи с неоднозначностью записи рациональных (да и во всех остальных случаях жизни).

Когда же мы рассматриваем $f(x)=x^x$, нам нужны мультипликативные свойства как основания степени, так и показателя. Вот с последними-то и проблема: $f(x) = f(x/y)^y y^x$, но всегда ли определено $f(x/y)$?!?

А кривулька красивая, с удовольствием посмотрел. Только вот… Стал рисовать в Mathematica, перешел в полярные координаты и задал ParametricPlot, а он мне в ответ: хвункия определена только в первой четверти Пришлось модулей насовать…

[Someone]

незваный гость писал(а):

А кривулька красивая, с удовольствием посмотрел. Только вот… :lol: Стал рисовать в Mathematica, перешел в полярные координаты и задал ParametricPlot, а он мне в ответ: хвункия определена только в первой четверти :( Пришлось модулей насовать…

Мне кажется, что при написании уравнения астроиды неявно имеется в виду что-нибудь типа $\left(x^2\right)^{\frac 13}+\left(y^2\right)^{\frac 13}=1$, а $x^2$, как обычно для целых степеней, интерпретируется как $x\cdot x$. Если второе Mathematica понимает (а куда ей деваться?), то первое уже чересчур, поскольку общепринятым такое понимание рациональных степеней не является.

[незваный гость]

Someone писал(а):

$\left(x^2\right)^{\frac 13}+\left(y^2\right)^{\frac 13}=1$

или $\left(x^{\frac 13}\right)^2+\left(y^{\frac 13}\right)^2=1$. В любом случае, Вы правы. Я написал про Mathematica только потому, что уж больно совпало с обсуждаемой темой.

[bot]

Во-во, человек, который sapiense - не пакет, он и модуль недостающий вставит и доопределит $x^\alpha$ в точке $x=0$, если $\alpha > 0$
А к чему школьник приучен? Шаг влево, шаг вправо - это попытка к бегству, карается на месте.

[4arodej]

RIP писал(а):

Руст писал(а):

Тем не менее, я не согласен и с RIPом.

Я рассказал не свою точку зрения, а то, чему меня учили в школе.

Наверно, плохо учили.

существует два независимых подхода к решению таких уравнений:

1. функциональный (тогда имеем степенно-показательную функцию)
2. метод полного поиска корней.

опять же на екзамене, просто следует указать какому подходу Вы придерживаетесь и решать этим методом. (решая вторым, я прошёл собесебование в университет

итак, ответ такой: смотря какому подходу придерживаться... если функциональный -- то больше ограничений. но и более мощные методы, иначе, иногда, только перебор.

это похоже на аксиому выбора

[Lion]

Поскольку я учился в школе совсем недавно, могу с уверенностью заявить: никакой "степенно-показательной функции" в школе не проходят, и я не понимаю, о каких "функциональных методах решения" Вы говорите. И что Вы называете "методом полного поиска корней"?

[4arodej]

Lion писал(а):

Поскольку я учился в школе совсем недавно, могу с уверенностью заявить: никакой "степенно-показательной функции" в школе не проходят, и я не понимаю, о каких "функциональных методах решения" Вы говорите. И что Вы называете "методом полного поиска корней"?

И тем не менее в донецкой школе, где я учился, проходят.

А вообще, проблема тут не математическая, а скорее методологическая...

функциональный метод -- рассматрвать уравнения как равенство функций (поиск точек пересечений) и там уже различные вариации на тему: "функция_в_правой_части_монотонна_возрастает_ а_в_правой_монотонно_невозврастает_-_ значит_не_более_одного_решения"... и др. и пр.

второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

разбил длинную строку // нг

[незваный гость]

4arodej писал(а):

второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

Это сильно! Это круто! А что такое $2^{-2}$? Как Вы определяете смысл уравнения, если Вы обходите понятие функции?! Не непрерывной (…), а просто функции.

Я понимаю, что использовать методы матана не обязательно, но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?

Предупреждая ответ «выражение»: а что такое выражение?

Lion писал(а):

"степенно-показательной функции"

Это, наверное, $f(x, y) = x^y$.

[Lion]

4arodej писал(а):

второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

Любое уравнение представляется в виде $f(x)=0$, где $f(x)$ --- некоторая функция. И решить уравнение --- здачит найти все нули этой функции. Иных соображений (подобно тем, которые обсуждались выше) быть не может.

[OZH]

незваный гость писал(а):

... но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?

Неизвестное нам число.

Смысл уравнения в том и состоит, чтобы найти его (неизвестное число). А мы начинаем предполагать, что для каждого $x$ из некоторой области (которую, строго говоря, следовало бы задать заранее) левая часть уравнения получает своё значение, и нам необходимо найти такое $x$, чтобы (полученное) значение, стоящее в левой части, совпало со значением, стоящим в правой. При положительных $x$ (мы берём только вещественные значения) левая часть положительна и, поэтому, уравнение решений не имеет. Решение $x=0$ тривиально. Ещё одно решение: $x=-1$. Других решений среди отрицательных $x$ нет, поскольку при $x\in (-1,0)$ имеем $x^2<-x$, а при $x\in (-\infty, -1)$ имеем $x^2>-x$.

Это и есть полный перебор корней. Фактом анализа является то, полином второй степени с вещественными коэффициентами имеет не более двух корней, и то, что непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения.

А если искать комплексные корни?

P.S. По идее, с $(-8)^\frac{1}{3}$ не должно быть никаких проблем. Но, почему-то у вас они возникли. Спрашивается, у кого что-то не так: 1) у меня; 2) в кого-то из вас; 3) в школьной математике? При естественном течении дел, сначала определяют корни, а уже потом --- их степени. Причём так, чтобы дробная степень представлялась несократимой дробью. Поэтому $(-8)^\frac{2}{6}$ --- это синоним для $(-8)^\frac{1}{3}$.

P.P.S. Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

[незваный гость]

OZH писал(а):

незваный гость писал(а):

но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?

Неизвестное нам число.

Ну, ответим на сарказм … конструктивно. Тем, у кого в левой части неизвестное число, я сообщаю Великую тайну, скрывавшуюся математиками тысячелетиями: это число известно, оно — ноль.

Если Вы хотите продолжать, я задам Вам следующий вопрос: а что такое «неизвестное число» с точки зрения математики?

Мой ответ: в левой части стоит функция, и задача стоит а определении значений ее аргумента, при котором значение функции равно 0.

OZH писал(а):

(которую, строго говоря, следовало бы задать заранее)

Золотые слова. Школьная математика подразумевает, что эта область — вещественные числа, поскольку других не знает. На олимпиадах, впрочем, иногда говорят: «решить в целых числах».

OZH писал(а):

При естественном течении дел, сначала определяют корни, а уже потом --- их степени.

Это где Вы прочитали, про естественное течение? И каким образом нашли $(-8)^{1/6}$?

OZH писал(а):

Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

Лучше не пишите, а почитайте что-нибудь. Например, что такое (формально) число, функция, операция, … Чтобы не фантазировать на эту тему.

[OZH]

незваный гость писал(а):

:evil:
Ну, ответим на сарказм … конструктивно.

Вы правильно уловили сарказм.

Цитата:

Тем, у кого в левой части неизвестное число, я сообщаю Великую тайну, скрывавшуюся математиками тысячелетиями: это число известно, оно — ноль.

Уравнение --- это всего лишь некое соотношение: при подстановке в уравнение искомого числа мы получим тождество. А можем и не получить за неимением решений. Левая часть уравнения $x^2=-1$ в вещественных числах никогда не сможет стать $-1$, тем не менее это уравнение корректно. Это уравнение показывает, что при определённых операциях мы выходим за пределы нашей алгебраической структуры.

Цитата:

Если Вы хотите продолжать, я задам Вам следующий вопрос: а что такое «неизвестное число» с точки зрения математики?

То, которое надо найти.

Цитата:

Мой ответ: в левой части стоит функция, и задача стоит а определении значений ее аргумента, при котором значение функции равно 0.

Это лишь одна из возможных интерпретаций.

Цитата:

Школьная математика подразумевает, что эта область — вещественные числа, поскольку других не знает.

Я учился в самой что ни есть средней школе. Но знавал комплексные числа. До сих пор жив.

Цитата:

И каким образом нашли $(-8)^{1/6}$?

Undefined symbol.

Цитата:

Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

Лучше не пишите, а почитайте что-нибудь.

Цитата:

Читаем...

Цитата:

Например, что такое (формально) число, функция, операция, …

О-о! Это благодатная тема! Можно затронуть. Продолжим?

Цитата:

Чтобы не фантазировать на эту тему.

Вместо фантазий можно предложить выводить математические крючочки. Или, хотя бы, рассуждения. Начать?