Закон Гука приводит к нелинейному отклику?

[10110111]

Рассмотрим задачу: масса $m$ подвешена на две одинаковые пружины жёсткостью $k$, жёстко закреплённые на краях. Длина пружин в ненапряжённом состоянии $l$. Пусть масса смещена по оси $x$ на расстояние $\Delta x$. Требуется определить силу упругости, действующую на эту массу.

Моё решение:
Удлинение пружины при смещённой массе будет

$$l^\prime=\sqrt{\Delta x^2+l^2}.$$

Т.е. изменение длины будет

$$\Delta l=l^\prime-l=\sqrt{\Delta x^2+l^2}-l.$$

По закону Гука (и с учётом одинаковости пружин),

$$F_x=-2k\Delta l\sin\alpha,$$

$$F_y=0$$

Подставляя синус по определению, получаем:

$$F_x=-2k\Delta l\frac{\Delta x}{l^\prime}=-2k\Delta x\left(1-\frac1{\sqrt{\frac{\Delta x^2}{l^2}+1}}\right).$$

Т.е. в данном случае выходит:
1. Следствием закона Гука (линейного!) явился нелинейная сила упругости
2. Нелинейность наиболее проявляется на малых(!) колебаниях
Меня удивляют эти результаты. Обычно, сколько я помню, малость колебаний (например, при выводе волнового уравнения для струны) была условием линейности волн. Почему в данном случае всё наоборот? Может, я где-то ошибся?

[Munin]

Да, в данном случае получается колебание в потенциале $\sim\Delta x^4,$ а не в потенциале $\sim\Delta x^2.$ Такое редко, но бывает. Закон "в малом всё линейно" надо воспринимать с учётом таких исключений.

[Oleg Zubelevich]

это называется "сильно нелинейная система"

[DimaM]

10110111 в сообщении #740384 писал(а):

Обычно, сколько я помню, малость колебаний (например, при выводе волнового уравнения для струны) была условием линейности волн.

Волновое уравнение для струны получается, если пружины предварительно растянуты. Тогда в первом приближении можно считать длину неизменной, и возвращающая сила получается линейной.
А ненатянутая струна и не звучит.

[Alex-Yu]

10110111 в сообщении #740384 писал(а):

Меня удивляют эти результаты.

Линейная функция от нелинейной функции вовсе не обязана быть линейной функцией. Здесь именно такая ситуация: растяжение пружины зависит нелинейно от смещения поперек. Еще и коэффициент пропорциональности между силой в пружине и силой поперек меняется в зависимости от смещения поперек. Так что ничего удивительного.

[Theoristos]

Здесь же можно вспомнить формулу Эйлера неустойчивости стержня и так называемые системы с пространственной нелинейностью.

[ewert]

Мои пять копеек (раз уж пошла такая пьянка): было бы по меньшей странно, если бы отклик оказался линейным. Веди при растянутых в положении равновесия пружинках это равновесие явно устойчиво, при сжатых -- столь же откровенно неустойчиво. Так откуда взяться линейности в граничном случае ненапряжённых пружинок?...

[10110111]

Всем спасибо за ответы.

ewert в сообщении #741622 писал(а):

было бы по меньшей странно, если бы отклик оказался линейным. Веди при растянутых в положении равновесия пружинках это равновесие явно устойчиво, при сжатых -- столь же откровенно неустойчиво. Так откуда взяться линейности в граничном случае ненапряжённых пружинок?...

Вот это объяснение мне наиболее интуитивно понятно. Теперь я понял, что мои выводы действительно верны.

[Munin]

ewert в сообщении #741622 писал(а):

Веди при растянутых в положении равновесия пружинках это равновесие явно устойчиво, при сжатых -- столь же откровенно неустойчиво.

Отличный reasoning! Спасибо!

[nestoronij]

Если кому интересно, то для синтезированных химических волокон закон Гука:
$ F = k(\Delta L)^a$
a - коэффициент жёсткости волокна. И только при a = 1 будем иметь классический закон. Он сам по себе линеен для узкого диапазона веществ.

[Oleg Zubelevich]

nestoronij в сообщении #741677 писал(а):

Если кому интересно, то для синтезированных химических волокон закон Гука:
$ F = k(\Delta L)^a$
a - коэффициент жёсткости волокна. И только при a = 1 будем иметь классический закон. Он сам по себе линеен для узкого диапазона веществ.

да, это интересное сообщение, только наверное должно быть $|\Delta L|^{a-1}\Delta L$, потому, что направление силы зависит от того растянули или сжали волокно.