Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?

[Munin]

(Анализ-II)

Вычитал такое утверждение:

Иванов М. Г. в «Как понимать квантовую механику» § 6.2 писал(а):

Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)$) имеет два нуля на границах области определения волновой функции: это либо точки $\pm\infty,$ либо точки, в которых стоят бесконечно высокие стенки, ограничивающие области движения частицы.

Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определения волновой функции. Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности решений обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри области определения являются точками перемены знака волновой функции (собственные волновые функции мы выбираем вещественными).

То есть, рассматриваются действительные решения уравнения

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+U(x)\psi=E\psi,\eqno(\text{УШ})$$

где $\min U(x)\leqslant E<U(-\infty),\quad E<U(+\infty),$ либо область определения ограничена сверху и/или снизу, и тогда одного или двух последних неравенств нет. ($\psi$ - искомая функция, $E$ - собственное значение, всё остальное задано.) Update: $\psi$ - не тождественный нуль.

Как я понимаю это утверждение: к каждому своему нулю волновая функция $\psi$ подходит с ненулевой первой производной. Не бывает таких "полочек потенциала" (участков $U(x)>E$), на которых волновая функция уменьшается быстрее, чем как первая степень. Если бы она это делала, то на $U(x)$ были бы наложены какие-то условия, например, обращающие его в бесконечность.

Объясните мне, как можно более просто и популярно, почему?

Update 2: Имеется в виду спектр решений, имеющих физический смысл. Выше по тексту было написано:

Иванов М. Г. в «Как понимать квантовую механику» § 6.1 писал(а):

При каждом значении $E$ это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можно отнормировать на 1 (дискретный спектр), либо на $\delta$-функцию (непрерывный спектр).

Таким образом, мы обнаруживаем, что при данном конкретном значении $E$ из двумерного пространства решений физический смысл имеет только некоторое под пространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем).

Обычно условие нормируемости (на $\delta$-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.

...

При $E<U(-\infty)\leqslant U(+\infty)$ мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальные асимптотики:


$$\psi(x)\sim c_-e^{-kx}+c_+e^{kx},\quad x\to+\infty;$$

$$\psi(x)\sim d_-e^{-kx}+d_+e^{kx},\quad x\to-\infty.$$

Условие ограниченности теперь даёт два граничных условия:


$$c_+=0,\quad d_-=0.$$

Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстве решений уравнения (УШ) не остаётся ненулевых ограниченных решений. Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется одно линейно независимое ограниченное решение. И если при конечных $x$ не будет разрывов $\psi,$ около которых интеграл от $|\psi|^2$ расходится, то состояние окажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состояниях дискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях от классически разрешённой области экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называть такие состояния связанными.

В случае общего положения условия $c_+=0, d_-=0$ должны быть линейно независимыми, так что почти все значения $E<U(-\infty)$ не являются собственными.

[ewert]

Munin в сообщении #741129 писал(а):

Как я понимаю это утверждение: к каждому своему нулю волновая функция $\psi$ подходит с ненулевой первой производной.

Я ничего не понял, об чём речь, но скажу так. Это и ежу понятно, что решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

А вот в чём глубокий философский смысл того заклинания -- не скажу, не знаю.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #741135 писал(а):

решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

еще как может

[Munin]

ewert в сообщении #741135 писал(а):

Это и ежу понятно, что решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

Хорошо, объясните такому недоежу, как мне.

[svv]

Из такой формы записи

$$\psi''(x)=-\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-U(x))\psi(x)$$

видно, что если в какой-то точке сама волновая функция и её первая производная обращаются в нуль, то и все остальные производные тоже.

Ну, для гладкого потенциала.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #741136 писал(а):

еще как может

Ни разу, оно заведомо однородно.

Munin в сообщении #741138 писал(а):

объясните такому недоежу, как мне.

Вы лучше мне, ежу, объясните -- что там за выперендрёж случился.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #741140 писал(а):

Ни разу, оно заведомо однородно.

про тождественно нулевое решение слыхали?

[Munin]

svv в сообщении #741139 писал(а):

Из такой формы записи

$$\psi''(x)=-\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-U(x))\psi(x)$$

видно, что если в какой-то точке сама волновая функция и её первая производная обращаются в нуль, то и все остальные производные тоже.

Так. Но ведь нам известны и такие функции: $e^{-1/x}.$ И что мешает волновой функции обнулиться таким способом?

(Оффтоп)

ewert в сообщении #741140 писал(а):

Вы лучше мне, ежу, объясните -- что там за выперендрёж случился.

Где?

[ewert]

svv в сообщении #741139 писал(а):

Ну, для гладкого потенциала.

Да гладкость потенциала тут не при чём -- этот факт верен идеологически, и легко распространяется на потенциалы отнюдь не гладкие.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #741142 писал(а):

про тождественно нулевое решение слыхали?

Хорошее замечание. Я не уточнил, уточняю: $\psi(x)$ - не тождественный нуль, поскольку на неё потом накладывается условие нормировки $\int|\psi(x)|^2dx=1.$

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #741142 писал(а):

ро тождественно нулевое решение слыхали?

Слыхал. Я даже в курсе, что оно тут откровенно не в тему.

Munin в сообщении #741144 писал(а):

Где?

Там, у Вас. "Дохтур, где Вы такие картинки-то берёте?..."

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #741147 писал(а):

Там, у Вас.

Всё равно не понял. Извините, вечер, жара, голова не варит. Если вы дадите мне точную ссылку в ЛС, отвечу. Здесь, я так понимаю, это офтопик.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #741149 писал(а):

Если вы дадите мне точную ссылку в ЛС, отвечу.

Не дам. Мене достало уже одно это:

Цитата:

Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)$) имеет два нуля на границах области определения волновой функции

При чём тут нули-то как таковые?... Товаристч явно не имеет ни малейшего представления о том, что такое спектр. Меня достало.

[Munin]

ewert в сообщении #741152 писал(а):

При чём тут нули-то как таковые?... Товаристч явно не имеет ни малейшего представления о том, что такое спектр.

Ясно. Надо цитировать больший кусок. Щас.

-- 27.06.2013 23:41:17 --

Внёс "Update 2" в исходное сообщение темы, надеюсь, вопрос снимется.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #741154 писал(а):

Внёс "Update 2" в исходное сообщение темы, надеюсь, вопрос снимется.

Да там как словоблудь была, так и осталась. Взять хотя бы:

Цитата:

Обычно условие нормируемости (на $\delta$-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.

Ну а ежели необычно -- что, сразу застрелиться?...

Товаристч постит явно не приходя в сознание.