При каждом значении
это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можно отнормировать на 1 (дискретный спектр), либо на
-функцию (непрерывный спектр).
Таким образом, мы обнаруживаем, что при данном конкретном значении
из двумерного пространства решений физический смысл имеет только некоторое под пространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем).
Обычно условие нормируемости (на
-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.
...
При
мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальные асимптотики:
Условие ограниченности теперь даёт два граничных условия:
Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстве решений уравнения (УШ) не остаётся ненулевых ограниченных решений. Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется одно линейно независимое ограниченное решение. И если при конечных
не будет разрывов
около которых интеграл от
расходится, то состояние окажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состояниях дискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях от классически разрешённой области экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называть такие состояния
связанными.
В случае общего положения условия
должны быть линейно независимыми, так что почти все значения
не являются собственными.