2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
(Анализ-II)

Вычитал такое утверждение:
    Иванов М. Г. в «Как понимать квантовую механику» § 6.2 писал(а):
    Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)$) имеет два нуля на границах области определения волновой функции: это либо точки $\pm\infty,$ либо точки, в которых стоят бесконечно высокие стенки, ограничивающие области движения частицы.

    Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определения волновой функции. Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности решений обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри области определения являются точками перемены знака волновой функции (собственные волновые функции мы выбираем вещественными).

То есть, рассматриваются действительные решения уравнения
$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+U(x)\psi=E\psi,\eqno(\text{УШ})$$ где $\min U(x)\leqslant E<U(-\infty),\quad E<U(+\infty),$ либо область определения ограничена сверху и/или снизу, и тогда одного или двух последних неравенств нет. ($\psi$ - искомая функция, $E$ - собственное значение, всё остальное задано.) Update: $\psi$ - не тождественный нуль.

Как я понимаю это утверждение: к каждому своему нулю волновая функция $\psi$ подходит с ненулевой первой производной. Не бывает таких "полочек потенциала" (участков $U(x)>E$), на которых волновая функция уменьшается быстрее, чем как первая степень. Если бы она это делала, то на $U(x)$ были бы наложены какие-то условия, например, обращающие его в бесконечность.

Объясните мне, как можно более просто и популярно, почему?

Update 2: Имеется в виду спектр решений, имеющих физический смысл. Выше по тексту было написано:
    Иванов М. Г. в «Как понимать квантовую механику» § 6.1 писал(а):
    При каждом значении $E$ это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можно отнормировать на 1 (дискретный спектр), либо на $\delta$-функцию (непрерывный спектр).

    Таким образом, мы обнаруживаем, что при данном конкретном значении $E$ из двумерного пространства решений физический смысл имеет только некоторое под пространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем).

    Обычно условие нормируемости (на $\delta$-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.

    ...

    При $E<U(-\infty)\leqslant U(+\infty)$ мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальные асимптотики:
    $$\psi(x)\sim c_-e^{-kx}+c_+e^{kx},\quad x\to+\infty;$$ $$\psi(x)\sim d_-e^{-kx}+d_+e^{kx},\quad x\to-\infty.$$ Условие ограниченности теперь даёт два граничных условия:
    $$c_+=0,\quad d_-=0.$$ Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстве решений уравнения (УШ) не остаётся ненулевых ограниченных решений. Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется одно линейно независимое ограниченное решение. И если при конечных $x$ не будет разрывов $\psi,$ около которых интеграл от $|\psi|^2$ расходится, то состояние окажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состояниях дискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях от классически разрешённой области экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называть такие состояния связанными.

    В случае общего положения условия $c_+=0, d_-=0$ должны быть линейно независимыми, так что почти все значения $E<U(-\infty)$ не являются собственными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 21:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #741129 писал(а):
Как я понимаю это утверждение: к каждому своему нулю волновая функция $\psi$ подходит с ненулевой первой производной.

Я ничего не понял, об чём речь, но скажу так. Это и ежу понятно, что решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

А вот в чём глубокий философский смысл того заклинания -- не скажу, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 21:59 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #741135 писал(а):
решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

еще как может :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #741135 писал(а):
Это и ежу понятно, что решение линейного дифура второго порядка не может обращаться в ноль одновременно со своей производной.

Хорошо, объясните такому недоежу, как мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Из такой формы записи
$$\psi''(x)=-\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-U(x))\psi(x)$$
видно, что если в какой-то точке сама волновая функция и её первая производная обращаются в нуль, то и все остальные производные тоже.

Ну, для гладкого потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #741136 писал(а):
еще как может :D

Ни разу, оно заведомо однородно.

Munin в сообщении #741138 писал(а):
объясните такому недоежу, как мне.

Вы лучше мне, ежу, объясните -- что там за выперендрёж случился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:08 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #741140 писал(а):
Ни разу, оно заведомо однородно.

про тождественно нулевое решение слыхали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
svv в сообщении #741139 писал(а):
Из такой формы записи
$$\psi''(x)=-\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-U(x))\psi(x)$$
видно, что если в какой-то точке сама волновая функция и её первая производная обращаются в нуль, то и все остальные производные тоже.

Так. Но ведь нам известны и такие функции: $e^{-1/x}.$ И что мешает волновой функции обнулиться таким способом?

(Оффтоп)

ewert в сообщении #741140 писал(а):
Вы лучше мне, ежу, объясните -- что там за выперендрёж случился.

Где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #741139 писал(а):
Ну, для гладкого потенциала.

Да гладкость потенциала тут не при чём -- этот факт верен идеологически, и легко распространяется на потенциалы отнюдь не гладкие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #741142 писал(а):
про тождественно нулевое решение слыхали?

Хорошее замечание. Я не уточнил, уточняю: $\psi(x)$ - не тождественный нуль, поскольку на неё потом накладывается условие нормировки $\int|\psi(x)|^2dx=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #741142 писал(а):
ро тождественно нулевое решение слыхали?

Слыхал. Я даже в курсе, что оно тут откровенно не в тему.

Munin в сообщении #741144 писал(а):
Где?

Там, у Вас. "Дохтур, где Вы такие картинки-то берёте?..."

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #741147 писал(а):
Там, у Вас.

Всё равно не понял. Извините, вечер, жара, голова не варит. Если вы дадите мне точную ссылку в ЛС, отвечу. Здесь, я так понимаю, это офтопик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #741149 писал(а):
Если вы дадите мне точную ссылку в ЛС, отвечу.

Не дам. Мене достало уже одно это:

Цитата:
Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)$) имеет два нуля на границах области определения волновой функции

При чём тут нули-то как таковые?... Товаристч явно не имеет ни малейшего представления о том, что такое спектр. Меня достало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #741152 писал(а):
При чём тут нули-то как таковые?... Товаристч явно не имеет ни малейшего представления о том, что такое спектр.

Ясно. Надо цитировать больший кусок. Щас.

-- 27.06.2013 23:41:17 --

Внёс "Update 2" в исходное сообщение темы, надеюсь, вопрос снимется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?
Сообщение27.06.2013, 22:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #741154 писал(а):
Внёс "Update 2" в исходное сообщение темы, надеюсь, вопрос снимется.

Да там как словоблудь была, так и осталась. Взять хотя бы:

Цитата:
Обычно условие нормируемости (на $\delta$-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.

Ну а ежели необычно -- что, сразу застрелиться?...

Товаристч постит явно не приходя в сознание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group