Сила и энергия в методе изображений

[zask]

olenellus, спасибо. Напорол я чуши. В свое оправдание скажу, что меня смутил Ландау-Лифшиц (т.8, 2005, с.34, задача 6, о притяжении диполя к мет. поверхности).

-- 25.06.2013, 16:29 --

Munin, Вы украли идею post701283.html#p701283

Цитата:

Гип-гип ура! Победное шествие науки! Физика должна быть физичной! Не дадим портить науку результатами! Нанотрубками ответим на происки ревизионистов! Трудящиеся, не затмевайте хрустом попкорна развитие науки! Отсутствие физики не доказывает что она триумфально не развивается! Двинем науку в Голливуд - призракам место в кино! .

[olenellus]

del

надо подумать

[Munin]

(Оффтоп)

zask, а вы злопамятны...

[zask]

Munin в сообщении #740296 писал(а):

zask, а вы злопамятны...

Munin, Вы что всерьез? Да нет, тут нет злости! Тут просто (может немного дешевая) забота о приоритете.

[Munin]

(Оффтоп)

Я просто почитал, что там была за тема... ох как мы цааапались! Запомнить такое - ну его...

[zask]

Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #740371 писал(а):

Я просто почитал, что там была за тема... ох как мы цааапались! Запомнить такое - ну его...

Прошу прощения. Увлекающаяся я натура...

-- 25.06.2013, 22:03 --

Однако, кто выскажется по вышеуказанной задаче из ЛЛ?

[zask]

Частично хочу аннулировать самобичевание. Как справедливо указал olenellus, задачу можно решить в рамках обычных электростатики+механики, если рассматривать систему реальных зарядов (обособленный заряд плюс поверхностные заряды на плоскости).

Однако, можно таки рассмотреть систему с фиктивным зарядом и решать через ур-я Аппеля.

Вводим систему координат с началом на плоскости. $x_1$ координата реального заряда, $x_2$ - фиктивного.

Система голономна. Уравнение связи

$$x_1 + x_2 = 0. \eqno (1)$$

"Энергия ускорений"

$$S = \dfrac{m \ddot{x_1}^2}{2} + \dfrac{m \ddot{x_2}^2}{2}.$$

Элементарная работа

$$\delta A = \dfrac{e^2}{(x_1 - x_2)^2}\delta x_1 - \dfrac{e^2}{(x_1 - x_2)^2}\delta x_2. \eqno (2)$$

Обобщенная координата

$$q = x_1.$$

Подставляя в выражение для работы $(2)$ и используя связь $(1)$, получаем

$$\delta A = \dfrac{e^2}{2q^2}\delta q,$$

т.о., обобщенная сила ($\delta A/\delta q$) таки не равна реальной силе $e^2/4q^2$. (Но здесь энергия вдвое больше энергии в задаче о заряде и плоскости.)

(Ур-я Аппеля, см. Е.Н. Березкин, "Курс теоретической механики", 1974, но проще смотреть по Wiki, которая на него и ссылается.)

=====

Наконец, чтобы закончить. Ландау в своем стиле (повторюсь, ЛЛ, т.8, 2005, с. 34, задача №6 о диполе около поверхности). Вместо того, чтобы честно посчитать энергию (т.е., включить энергию взаимодействия поверхностных зарядов между собой), он умножает диполь на поле фиктивного диполя и обзывает это "энергией притяжения". Хороший способ запудрить студентам (и не только) мозги!

[Munin]

zask в сообщении #740626 писал(а):

Наконец, чтобы закончить. Ландау в своем стиле (повторюсь, ЛЛ, т.8, 2005, с. 34, задача №6 о диполе около поверхности). Вместо того, чтобы честно посчитать энергию (т.е., включить энергию взаимодействия поверхностных зарядов между собой), он умножает диполь на поле фиктивного диполя и обзывает это "энергией притяжения". Хороший способ запудрить студентам (и не только) мозги!

Так всё-таки, а какие претензии к этому способу? У вас другое выражение получилось?

[olenellus]

Получается энергия в два раза больше, чем энергия связи диполя с проводящим полупространством.

[zask]

Munin в сообщении #740650 писал(а):

Так всё-таки, а какие претензии к этому способу? У вас другое выражение получилось?

olenellus уже ответил. ЛЛ дают вдвое большую энергию - как раз такую, какую бы дал диполь в поле замороженных поверхностных зарядов. Но там есть отмазка - термин "энергия притяжения". То есть, из полной энергии они выделили часть взаимодействия уединенного заряда с поверхностными, но не учли взаимодействие поверхностных между собой. Строго говоря, нельзя утверждать, что они сделали ошибку (хотя термин "энергия притяжения" несколько двусмыслен), но путают народ очень сильно. Еще один их перл в мою коллекцию.

[Munin]

Всё-таки не понимаю, вдвое большую чем что? Вы хотите сказать, что дифференциал этой энергии по положению диполя не даст силу?

[zask]

Munin в сообщении #740717 писал(а):

Всё-таки не понимаю, вдвое большую чем что? Вы хотите сказать, что дифференциал этой энергии по положению диполя не даст силу?

Именно! См. Е. И. Бутиков, А. А. Быков, and Кондратьев А. С. Физика в примерах и задачах. Наука, Москва, 1983, с.241.

[Munin]

zask
Поздравляю! Бутиков, Быков, Кондратьев совершают ровно ту самую ошибку, от которой вы отговаривали в первом сообщении данной темы! И вы этого не заметили!

Разумеется, при движении заряда смещается и его отражение, и результирующая сила будет изменением энергии при изменении $2r$ на $2\Delta r,$ то есть уже формула

$$F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{(2r)^2}\eqno(1)$$

в Бутикове-Быкове-Кондратьеве неверна. Силу на заряд нельзя считать как силу во внешнем поле (от отражения заряда), а необходимо считать с учётом изменения положения отражения, например, предложенным вами методом со связями.

[olenellus]

Да нет, сила как раз такая. А вот энергия — нет. Отлистайте тот же самый ландафшиц на несколько страниц назад. Впрочем, что Вы имеете в виду под $r$? (И что имели в виду ББК?)

[Munin]

ББК - расстояние от заряда до плоскости. Расстояние от заряда до изображения $2r.$

Энергия - не может быть другая. Плоскость просто делит поле пополам по нулю нечётной функции. В каждом полупространстве поле то же, что и в фиктивной задаче с двумя зарядами, и энергия поля та же, и энергия заряда в поле та же. То, что второй половины пространства, и поля с его энергией, нет, заряд не знает.