Волновое уравнение с дисперсией

[myhand]

zask в сообщении #685084 писал(а):

(К сожалению, отсутствует только аналог для случая с дисперсией.)

Не даром. Для "случая с дисперсией" - вам уравнение привели выше.

zask в сообщении #684555 писал(а):

аналог волнового уравнения

Может кому-то надо сперва внятно объяснять что ему надо, вместо своего птичьего языка?

[zask]

myhand в сообщении #685100 писал(а):

Не даром. Для "случая с дисперсией" - вам уравнение привели выше.

Еще раз - меня интересует не уравнение Гельмгольца (если бы это было так, я бы так и написал), а уравнение с временными производными. Из моей постановки это очевидно, т.к. я дал даже ссылку на точное уравнение:

zask в сообщении #684620 писал(а):

В Виноградова, Руденко, Сухоруков "Теория волн", 1979 само уравнение приводится (гл II, 8), но практически без анализа. По идее, должно быть и в оптике, но с ходу не могу найти.

Кроме того, это стало бы Вам очевидно, если бы Вы дали себе труд заглянуть во второй источник:

zask в сообщении #684855 писал(а):

Стефен А. Тау в сборнике "Нелинейные волны " под редакцией С. Лейбовича и А. Сибасса, 1977 пишет:

Наконец, если у кого-то имеются сомнения по постановке, то какой смысл давать самоуверенный ответ? Очевидно, если Вы не хотите лезть в ссылки, требуется уточняющий вопрос. Степень уверенности в ответе должна соответствовать степени уверенности в правильном понимании вопроса. Но только не для Вас.

myhand в сообщении #685100 писал(а):

Может кому-то надо сперва внятно объяснять что ему надо, вместо своего птичьего языка?

По Вашему "аналог" - это по птичьи? Ну почирикайте тогда, может получится по человечьи. А может кому-то надо сначала вникнуть в постановку, а потом начинать что-то писать? Проблема Ваша в том, что Вам почему-то кажется, что весь мир Вам чего-то должен. С чего бы это, как Вы думаете?

Итог беседы с Вами: опять прослушал банальности и глупости в духе терминологических споров ни о чем. Поздравляю, хорошо провели время.

Поскольку я не психотерапевт, избавьте меня, пожалуйста, от своих комментариев - развлекайтесь с другими. Похоже, Вам нечем заняться. Но мне - есть чем. Если уж так приперло, я, пожалуй, могу подкинуть Вам пару задач, чтобы занять Вас. (Впрочем, маловероятно, что Вы пройдете тесты.) Я думаю, что интересная работа может отвлечь Вас от той ерунды, которой Вы занимаетесь, да и другим сэкономит время.

[myhand]

zask в сообщении #685102 писал(а):

По Вашему "аналог" - это по птичьи?

Да. Для меня, например - ближайший аналог именно то самое "уравнение в частотной области" (как назвал это Munin). Крокодилом в интегральной форме - попусту никто не пользуется. Хотите - выведите его, если вдруг он в ЛЛ не выписан. Бумашка есть, дать бумашку?

[Munin]

Открыл эту самую "Теорию волн". Написано там следующее: без дисперсии

$$\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial\zeta^2}-\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial t^2}=0,$$

с дисперсией

$$\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial\zeta^2}-\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial t^2}-L(u)=0,$$

где $L(u)$ - некий оператор, для которого приведены только несколько примеров. Вопрос zask, как я понимаю, о конкретном виде этого оператора.

Перейдя в частотную область, имеем ($\omega$ - параметр)

$$\dfrac{\,\,\partial^2u(\omega)\,\,}{\partial\zeta^2}-\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\,(i\omega)^2u(\omega)=\dfrac{\,\,\partial^2u(\omega)\,\,}{\partial\zeta^2}+\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\,\omega^2u(\omega)=0.$$

Поскольку $1/c^2=\varepsilon_0\mu_0,$ то учёт $\varepsilon$ даст вместо него множитель $\varepsilon/c^2=\varepsilon\varepsilon_0\mu_0,$ то есть искомое уравнение в частотной области

$$\dfrac{\,\,\partial^2u(\omega)\,\,}{\partial\zeta^2}+\dfrac{\varepsilon(\omega)}{\,\,c^2\,\,}\,\omega^2u(\omega)=0.$$

Переводя его обратно во временную область, получаем

$$\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial\zeta^2}-\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\,\varepsilon(t)*\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial t^2}=0,$$

где $*$ - свёртка. В виде интеграла

$$\dfrac{\,\,\partial^2u\,\,}{\partial\zeta^2}-\dfrac{1}{\,\,c^2\,\,}\,\Bigl(\dfrac{1}{\,\,2\pi\,\,}?\Bigr)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varepsilon(t-\tau)\,\dfrac{\,\,\partial^2u(\tau)\,\,}{\partial\tau^2}\,d\tau=0.$$

Вот это и есть ваш искомый линейный оператор. Ко всему этому важное примечание: с одной стороны, измеряется экспериментально не полноценная комплексная величина $\varepsilon(\omega),$ а только её модуль, с потерей фазы (фазу тоже, может быть, можно вытащить, но я не помню). С другой стороны, требования физичности (причинность) заставляют подогнать всё выражение к такому виду, чтобы в него входило только $u(\tau)$ на интервале $(-\infty,t).$ Это условие тоже позволяет присвоить фазу по известной функции $|\varepsilon(\omega)|.$ Хотя во многих расчётах эта фаза особо и не важна.

[zask]

Все похоже, только из $\varepsilon(t-\tau)$ выделяют обычно $\delta$-функцию, чтобы выделить Даламбериан. Вот исследование итогового уравнения и хотелось бы найти. Что уже имеется на сегодняшний день?

Munin

(Оффтоп)

Спасибо за перевод разговора в деловое русло!

[eugrita]

Простите, что вмешиваюсь со своей маленькой проблемой.
Можно ли записать уравнение одномерной волны с дисперсией так?
$u=u_0\f(wt-kx)$ где в общем случае $k=k(w)$
можно ли для такой волны использовать формулу Даламбера при отражении?
что означает что для упругих изгибных волн в упругом стержне
групповая скорость в 2 раза больше фазовой? Можно ли оставаясь при этом в рамках ф-лы Даламбера получать снимки волновых профилей при разных фазах (без разложения по гармоникам (нормальным функциям)?

[myhand]

eugrita в сообщении #740170 писал(а):

Можно ли записать уравнение одномерной волны с дисперсией так?

Нет. Достаточно подставить это "решение" в уравнение и убедиться, правда?

eugrita в сообщении #740170 писал(а):

можно ли для такой волны использовать формулу Даламбера при отражении?

Это которая? Та, что служит решением задачи Коши для волнового уравнения без дисперсии? Нельзя, конечно.

eugrita в сообщении #740170 писал(а):

что означает что для упругих изгибных волн в упругом стержне групповая скорость в 2 раза больше фазовой?

Не разумно открыть учебник и прочитать что такое групповая и фазовая скорости?

[Munin]

myhand зол, но прав.

[Zai]

Цитата:

Кто подскажет, где-нибудь описан аналог волнового уравнения (в электродинамике) при наличии зависимости $\varepsilon (\omega)$?

Да как-то не понято, чего же Вы хотели бы?
В нелинейной механике негусто с нелинейностями: релаксация, Вандерполь и параметрические Матье-Хила. Если амплитуда основной опорной волны много больше амплитуды возмущенного нелиенейностью решения- чистый Матье. В обыкновеных дифурах есть дробные резонансы. Что в волновом уравнение - аналог очевидно. Вандерполь в обыкновенных дифурах для волнового уравнения перносится на автоволны. Последние тоже исследованы хотя бы экспериментально. Трудно найдти релаксацию. Должно быть часть разделов квантовой физики могут претендовать на это. Поледнее относится к временным нелинейностям.
Пространственные нелинейности изучены недостаточно. К изученным уравнениям данных добавок к волновому уравнения являются уравнения акустики ближнего и дальнего поля. Бессель в ближнем поле порождает нелинейности.
Яркое по характеру взаимное влияние пространственных и временных нелинейностей пока неизвестно.

[Munin]

Zai в сообщении #742653 писал(а):

В нелинейной механике негусто с нелинейностями: релаксация, Вандерполь и параметрические Матье-Хила.

А нельзя ли поподробнее? И включает ли этот список обычные нелинейности из оптики, ФТТ, плазмы, волн на воде и прочих широко известных нелинейных систем?

[zask]

Zai в сообщении #742653 писал(а):

Да как-то не понято, чего же Вы хотели бы?

Хотел бы иметь аналог волнового уравнения. Во что превращается волновое уравнение при наличии $\varepsilon(\omega)$. По-моему предельно четкая постановка.

[Munin]

По-моему, на это уже ответили.

[zask]

Munin в сообщении #742755 писал(а):

По-моему, на это уже ответили.

Да нет, конечно.

[Munin]

zask в сообщении #742780 писал(а):

Да нет, конечно.

Ничего себе! Чё ж вы сразу не сказали! А что вас не устраивает? Конкретно.

[zask]

Munin в сообщении #742823 писал(а):

Ничего себе! Чё ж вы сразу не сказали! А что вас не устраивает? Конкретно.

Да где уравнение-то??? То, о чем мы говорили - это не финиш, а старт.

-- 03.07.2013, 20:00 --

zask в сообщении #685132 писал(а):

се похоже, только из $\varepsilon(t-\tau)$ выделяют обычно $\delta$-функцию, чтобы выделить Даламбериан. Вот исследование итогового уравнения и хотелось бы найти. Что уже имеется на сегодняшний день?