2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ГУ Дирихле в численных методах
Сообщение30.07.2007, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Вопрос касается численных методов. Нужно решить диф. ур. на собственные занчения методом конечных разностей или элементов. В любом случае в итоге получаем матричное уравнение MA=EA, где неизвестное A - вектор-столбец с значениями искомой фукнции в узлах. Не могу понять как, после того как получена такая матрица, внедрить ГУ Дирихле (ГУ зананы в некоторых узлах). Возьмем, например, такое ГУ: равенство функции константе F на узле под номером 2. Очевидно надо как-то модифицировать численную матрицу M... Не знаю как

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 14:59 


26/07/07
15
Возможно я не понял вопроса -- тогда удалю топик. Я не знаю что такое ГУ, однако исходя из вами написанного выходит так что вы собираетесь решать нелокальную эллиптическую задачу в том же пространстве функций, что и классическиую задачу Дирихле. Аналитического решения нелокальная задача скорее всего не имеет из за особенностей, возникающих в следсвие задания дополнительных условий. Поэтому для решения задачи придется уточнить постановку и разрешать ее с той же матрицей в левой части, однако в специальном весовом пространстве соответсвующем вашей постановке. Подробнее можно почитать например тут http://www.mai.ru/projects/cmfd/pdf/cmfd-04-02.pdf

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.07.2007, 01:31 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
yupa писал(а):
ГУ

граничное условие 8-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.07.2007, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Да, ГУ - граничные условия. Задача локальная. Я не знаю, как "учесть" граничные условия Дирихле, решая задачу численно. В руководствах по численным методам, если задача решается например методом конечных элементов, ГУ задаюстя уже после того как вычислены элементы матрицы M в матричном уравнении МА=ЕА. ГУ "учитываются" модифицируя матрицу М. Я встретил способ "учесть" ГУ для матричного уравнения вида MA=B, где В - числовая матрица-столбец. В этом случае в строке соотвествующей узлу, где заданы ГУ, диагональный матричный элемент матрицы М заменяется очень большим числом, на то же число домножается соответсвующая строка в B, содержая значения искомой функции в "граничном" узле. Это один из методов. Но как быть с уравнением на собсвенные значения MA=EA? Можно ли поступить аналогично, как?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.07.2007, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Дифференциальные уравнения дают систему однородных линейных уравнений
$$BX=0\qquad(*)$$
$X=(x_1,\ldots,x_n)$ --- искомые значения в узлах, $B$ --- матрица коэффициентов.

Начальные и граничные условия дают неоднородные соотношения, например, условие Дирихле запишется в виде
$$x_i=c_i,\; i\in F\qquad(**)$$
где $F$ --- множество индексов отвечающее узлам границы и $c_i$ --- соответствующие граничные значения.

Задача численного решения ДУ с ГУ сводится к отысканию $X$, удволетворяющего соотношениям $(*)$ и $(**)$. Для ее решения следует подставить $c_i$ вместо $x_i$ в $(*)$ и решить получившуюся систему неоднородных линейных уравнений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.07.2007, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Да, это так, только подставлять нужно с(i) не вместо x(i), а в правой части, в строке соотвествующей x(i). Получится неоднородное уравнение BX=F где F=[0 0 0 ...0 c(i) 0 ... 0]'

А как быть с задачей на собственные значения BX=EX?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2007, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
В МКЭ при решении задач на собственные частоты и формы колебаний, эначения в векторе A в точках ГУ задаются нулями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group