ГУ Дирихле в численных методах

[Freude]

Вопрос касается численных методов. Нужно решить диф. ур. на собственные занчения методом конечных разностей или элементов. В любом случае в итоге получаем матричное уравнение MA=EA, где неизвестное A - вектор-столбец с значениями искомой фукнции в узлах. Не могу понять как, после того как получена такая матрица, внедрить ГУ Дирихле (ГУ зананы в некоторых узлах). Возьмем, например, такое ГУ: равенство функции константе F на узле под номером 2. Очевидно надо как-то модифицировать численную матрицу M... Не знаю как

[yupa]

Возможно я не понял вопроса -- тогда удалю топик. Я не знаю что такое ГУ, однако исходя из вами написанного выходит так что вы собираетесь решать нелокальную эллиптическую задачу в том же пространстве функций, что и классическиую задачу Дирихле. Аналитического решения нелокальная задача скорее всего не имеет из за особенностей, возникающих в следсвие задания дополнительных условий. Поэтому для решения задачи придется уточнить постановку и разрешать ее с той же матрицей в левой части, однако в специальном весовом пространстве соответсвующем вашей постановке. Подробнее можно почитать например тут http://www.mai.ru/projects/cmfd/pdf/cmfd-04-02.pdf

[нг]

yupa писал(а):

ГУ

граничное условие

[Freude]

Да, ГУ - граничные условия. Задача локальная. Я не знаю, как "учесть" граничные условия Дирихле, решая задачу численно. В руководствах по численным методам, если задача решается например методом конечных элементов, ГУ задаюстя уже после того как вычислены элементы матрицы M в матричном уравнении МА=ЕА. ГУ "учитываются" модифицируя матрицу М. Я встретил способ "учесть" ГУ для матричного уравнения вида MA=B, где В - числовая матрица-столбец. В этом случае в строке соотвествующей узлу, где заданы ГУ, диагональный матричный элемент матрицы М заменяется очень большим числом, на то же число домножается соответсвующая строка в B, содержая значения искомой функции в "граничном" узле. Это один из методов. Но как быть с уравнением на собсвенные значения MA=EA? Можно ли поступить аналогично, как?

[lofar]

Дифференциальные уравнения дают систему однородных линейных уравнений

$$BX=0\qquad(*)$$

$X=(x_1,\ldots,x_n)$ --- искомые значения в узлах, $B$ --- матрица коэффициентов.

Начальные и граничные условия дают неоднородные соотношения, например, условие Дирихле запишется в виде

$$x_i=c_i,\; i\in F\qquad(**)$$

где $F$ --- множество индексов отвечающее узлам границы и $c_i$ --- соответствующие граничные значения.

Задача численного решения ДУ с ГУ сводится к отысканию $X$, удволетворяющего соотношениям $(*)$ и $(**)$. Для ее решения следует подставить $c_i$ вместо $x_i$ в $(*)$ и решить получившуюся систему неоднородных линейных уравнений.

[Freude]

Да, это так, только подставлять нужно с(i) не вместо x(i), а в правой части, в строке соотвествующей x(i). Получится неоднородное уравнение BX=F где F=[0 0 0 ...0 c(i) 0 ... 0]'

А как быть с задачей на собственные значения BX=EX?

[Zai]

В МКЭ при решении задач на собственные частоты и формы колебаний, эначения в векторе A в точках ГУ задаются нулями.