Задача по теории чисел

[R_e_n]

Пусть p - простое число, $p\ne2$. Доказать, что число $7^p-5^p-2$ кратно $6p$

Доказательство.
Нужно показать, что $7^p-5^p-2$ одновременно делится на 2, 3 и p.
1. $(7^p-5^p-2) \mod p = ((7^p \mod p) - (5^p \mod p) - 2 )\mod p = 7 - 5 - 2 = 0$
2. Число $(7^p-5^p-2)$ - четное, следовательно делится на 2
3. Нужно показать, что $(7^p-5^p-2) \mod 3 = 0$. А как не знаю.

Пробовал так:
$(7^p-5^p-2)\mod 3 = ((7^p \mod 3) - (5^p \mod 3) - 2 ) \mod 3 $
$7^p\mod 3 = $1 или 2
$5^p\mod 3 = $1 или 2

Равенство выполняется при
$$7^p\mod 3\ne5^p\mod 3$.
Мое предположение
$$7^p \mod 3=1 при p - простом, p > 2
$$5^p \mod 3=2 при p - простом, p > 2
Но как это доказать, я не знаю

[iifat]

Ну, например. Возьмите последовательность $7, 7^2, 7^3, \dots$, возьмите остатки от деления на 3 и попробуйте найти закономерность. Аналогично с 5.

[Shadow]

R_e_n в сообщении #739711 писал(а):

$7^p\mod 3 = $1 или 2

При каких p равно 2?

[R_e_n]

Shadow в сообщении #739775 писал(а):

R_e_n в сообщении #739711 писал(а):

$7^p\mod 3 = $1 или 2

При каких p равно 2?

Это просто шаг рассуждения, конкретных p найти не смог. Но доказать того, что их не тоже.

Сегодня уже могу
$7^p \mod 3=(7\cdot7\cdot..\cdot7)\mod 3=((7\mod 3)\cdot(7\mod 3)\cdot..\cdot(7\mod 3))\mod 3=1$

$5^p \mod 3=(5\cdot5\cdot..\cdot5)\mod 3=((5\mod 3)\cdot(5\mod 3)\cdot..\cdot(5\mod 3))\mod 3=2^p \mod 3$
$2^p \mod 3=2$ при p нечетном

-- 24.06.2013, 08:32 --

Спасибо, за помощь