Общая протяженность границ зерен

[shto_delat]

Задача: имеется прямоугольная область со стороной $D$, разделенная равномерно на одинаковые зерна. Зерна представляют собой правильные шестиугольники со стороной (назовем ее размером зерна) $d$. Упаковка плотная, т.е. структура напоминает соты: каждая сторона любого шестиугольника является также стороной одного из его 6 ближайших соседей. Необходимо найти общую протяженность границ зерен в области $D$ (исходя из того, что каждую сторону любого шестиугольника - или граничащей пары шестиугольников - нужно посчитать только один раз).

В общем, насколько понимаю просто число сочетаний из количества зерен по 2 (т.е. количество пар), умноженное на $d$. Так или не совсем?

p.s.: можно считать, что количество зерен большое.

[shto_delat]

Число сочетаний дает общее количество пар, а как из них выбрать соседние пары? Не очень понятно.

...

Там каким-то образом еще число размещений, видимо, нужно использовать.

[Aritaborian]

shto_delat в сообщении #739168 писал(а):

прямоугольная область со стороной D

Область квадратная или прямоугольная? Если второе, нужно задать обе стороны.

[shto_delat]

Aritaborian в сообщении #739206 писал(а):

shto_delat в сообщении #739168 писал(а):

прямоугольная область со стороной D

Область квадратная или прямоугольная? Если второе, нужно задать обе стороны.

Квадратная. Неправильно написал.

[Deggial]

shto_delat, формулы оформляйте $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Сейчас формулы поправил сам.

По задаче - суммарный периметр определяется через число сот. Число сот оценивается через площадь - это будет член 1-го порядка. Остальные члены искать труднее.

[Евгений Машеров]

Приближённое решение - общая площадь равна $D^2$
Площадь единичного зерна равна $\frac {3\sqrt3} 2 d^2$
Итого число зёрен $N=\frac{2D^2} {3\sqrt3d^2}$, а их суммарный периметр $P=6N=\frac{12D^2} {3\sqrt3 d^2}$, однако в него каждая сторона входит дважды, так что суммарная длина сторон будет $N=\frac{2D^2} {\sqrt3d^2}$

-- 22 июн 2013, 19:39 --

Приближённость решения в том, что зёрна, лежащие на границе квадратной области, входят в общую площадь лишь частью, как и в общий периметр, причём эта доля зависит от ориентации сторон шестиугольников относительно границ области, от соотношения величин $D$, с одной стороны, и $2d$ и $\frac {\sqrt3} 2d$, с другой, а также от сдвига зёрен по отношению к границам области. Величина погрешности зависит от соотношения $D$ и $d$, и составляет величину порядка $d/D$