Кривая может быть любой?
Нет, не совсем. Например, когда вы рисуете кривую на плоскости, то чтобы она была графиком, на ней не должно быть вертикальных участков, и возвращающихся назад по горизонтали. Те же требования - и для кривой в многомерном пространстве.
Но такая кривая - это только график функции из одной независимой переменной - в несколько зависимых переменных. Если у вас график функции из нескольких независимых переменных (в одну или несколько), то это будет уже не кривая линия, а кривая поверхность (или многомерная поверхность).
Ну если я представлю как какая-нибудь точка перемещается в пространстве, то траектория этой точки и есть векторная функция?
Не совсем. Представьте себе, что какая-нибудь точка перемещается
на плоскости. То есть, её положение - это две переменные
и
Тогда графиком функции будет кривая
в пространстве в системе координат
и эта кривая будет при сечениях плоскостями, перпендикулярными оси
давать положения точки на плоскости, и соответственно, значения переменных
и
Эту кривую линию иногда тоже называют "траекторией", потому что это удобно. Но в школе обычно под "траекторией" подразумевают линию, проходимую точкой на плоскости
- это проекция этой кривой на плоскость.