Найти продолжение функционала

[truestyle]

Задача: В пространстве $E^2$ c элементами $x = (x_1, x_2)$ на подпространстве $L = \{x \in E^2 | 2x_1 - x_2 = 0\}$ задан линейный функционал $<x, f> = x_1$.
Доказать, что существует единственное продолжение на все $E^2$ c сохранением нормы, найти это продолжение.

Решение:
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Хана - Банаха, надо доказать, что функционал ограничен
(или значения функционала ограничены сверху константой в единичном круге $||x|| \leq 1$).

Из условия $2x_1 = x_2$, значит $||x|| = \sqrt{(x,x)} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt {5x_1^2} = \sqrt{5}|x_1|$.

Отсюда получаем, что $|<x,f>| = |x_1| \leq \frac{1}{\sqrt{5}}$, то есть функционал ограничен, а значит, по вышеуказанной теореме, продолжение существует с сохраненим нормы и на всём множестве $L: <x,f> = <x,f_1>$, где $f_1$ - продолжение.

Найдём норму функционала (при всех $||x|| \leq 1$):
$||f|| = \sup |<x,f>| = \sup |x_1| = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь вопрос: а каким образом искать это продолжение ?

Как я понимаю, это есть некая функция двух переменных, обозначим её $g(x_1, x_2)$,
удовлетворяющая условиям:

$\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 1$ (круг единичного радиуса)
$g(x_1, x_2) \leq \frac{1}{\sqrt{5}}$ (сохранением нормы)

[Oleg Zubelevich]

truestyle в сообщении #738367 писал(а):

Задача: В пространстве $E^2$ c элементами $x = (x_1, x_2)$ на подпространстве $L = \{x \in E^2 | 2x_1 - x_2 = 0\}$ задан линейный функционал $<x, f> = x_1$.
Доказать, что существует единственное продолжение на все $E^2$ c сохранением нормы, найти это продолжение.

Решение:
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Хана - Банаха

Toucan:

См. post738473.html#p738473

[cool.phenon]

Цитата:

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Хана - Банаха, надо доказать, что функционал ограничен

Линейный функционал по определению непрерывен, а значит и ограничен.

[Otta]

cool.phenon в сообщении #738375 писал(а):

Линейный функционал по определению непрерывен.

Чего это вдруг?

[truestyle]

cool.phenon в сообщении #738375 писал(а):

Линейный функционал по определению непрерывен, а значит и ограничен.

Я знаю, что непрерывность и ограниченность оператора являются эквивалентынми понятиями, но линейность и ограниченнность вряд ли.

[cool.phenon]

Наверное какая-то у меня путаница, но в конспекте написано, что при определении линейного функционала требуется еще непрерывность.

[Otta]

cool.phenon
Наверное, просто говорилось что-то в духе, что мы будем рассматривать линейные непрерывные функционалы.

[cool.phenon]

Otta
Я лишний раз заглянул в учебник (Люстерник, Соболев)

[BatMan]

truestyle
Вспомните одну теоремку , которая говорила по единственность представления некоторых функционалов в неких пространствах

[truestyle]

BatMan

Не могли бы вы её процитировать? Что-то не вспоминается.

[Otta]

cool.phenon
Ниче не поняла. Где мы с Люстерником друг другу противоречим? Где он пишет, что линейный функционал непрерывен? Он пишет, что если непрерывен в одной точке, то непрерывен.
Ну давайте так. Пусть $\langle x,f\rangle=x'(1)$, скажем, на $C[0,1]$, для простоты. Рассмотрите в качестве $x_n(t)=t^n$.

[BatMan]

truestyle
В гильбертовом пространстве порыскайте

[мат-ламер]

truestyle в сообщении #738367 писал(а):

Теперь вопрос: а каким образом искать это продолжение ?

Смотрите доказательство теоремы Хана-Банаха. Доказательство вполне конструктивно (в той части, где это нам нужно).

-- Ср июн 19, 2013 21:28:41 --

Oleg Zubelevich в сообщении #738368 писал(а):

truestyle в сообщении #738367 писал(а):

Задача: В пространстве $E^2$ c элементами $x = (x_1, x_2)$ на подпространстве $L = \{x \in E^2 | 2x_1 - x_2 = 0\}$ задан линейный функционал $<x, f> = x_1$.
Доказать, что существует единственное продолжение на все $E^2$ c сохранением нормы, найти это продолжение.

Решение:
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Хана - Банаха

Я не понял, что вызвало такую реакцию. Человек хочет разобраться, как работает теорема Хана-Банаха в двухмерном случае. Правильно делает.

[Oleg Zubelevich]

Определение линейного функционала из учебника Люстерника -Соболева не эквивалентно общепринятому.

[Otta]

Oleg Zubelevich
Ну понятно, что можно и без Хана-Банаха.
Ну понятно, что линейный в конечномерном пространстве всегда непрерывен, что с Люстерником, что без.
Где цирк-то? Пусть человек решает, как хочет, даже если нерационально.

Я вот, признаться, эти главы в Люстернике не читала. Он что, сподобился непрерывность в определение загнать? только сейчас разглядела. Как-то оно не есть хорошо.