Грани n-мерного куба

[Terraniux]

Всем доброго времени суток.

Не могу справиться с обобщением задачи.
Сколько у $n$-мерного куба граней размерности $m<n$?
Для вершин и граней $m-1$-размерности все более-менее очевидно. А вот уже с ребрами - проблемы, не говоря уже про другие.
Как посчитать это количество? Заранее спасибо.

[Sonic86]

Выпишите систему уравнений, описывающих $m$-мерную грань. Сколько можно выписать таких систем?

[Terraniux]

Sonic86 в сообщении #737091 писал(а):

Выпишите систему уравнений, описывающих $m$-мерную грань. Сколько можно выписать таких систем?

Так, вершины - это у нас все точки, имющие в своих координатах 1 или 0. Теперь надо из них что-то выбрать так, чтобы получились грани, так?

[svv]

Вот не очень конкретная фраза: "на любой грани несколько координат постоянны, а остальные могут как-то меняться". Вы можете это уточнить, насколько возможно? Сколько фиксированных, чему они равны, как меняются остальные и т.д.

[Terraniux]

svv в сообщении #737118 писал(а):

Вот не очень конкретная фраза: "на любой грани несколько координат постоянны, а остальные могут как-то меняться". Вы можете это уточнить, насколько возможно? Сколько фиксированных, чему они равны, как меняются остальные и т.д.

М, вы кому? я такого не писал. Я лишь пытаюсь сделать какую-то выборку вершин так, чтобы они охватывали $m$-мерную грань при заданном m. (точнее, это моя идея. она может привести к успеху?)

[svv]

Вы не писали, это я написал. Я мог сам расписать всё точно, но я не хотел лишать Вас удовольствия самому всё открыть.

Уточните фразу, это приведёт Вас к ответу на Ваш вопрос (и на вопрос Sonic86 тоже).

[Aritaborian]

svv практически привёл решение. Осталось лишь уточнить цифры. Идите по индукции. Начните с квадрата, перейдите к кубу...

[VAL]

Я бы рассуждал, не привлекая ни координат вершин, ни систем уравнений:
Сколько m-мерных граней исходят из каждой вершины?
Сколько вершин у n-мерного куба?
Сколько вершин у m-мерной грани?
Ответ готов.

[Sonic86]

Terraniux в сообщении #737099 писал(а):

Так, вершины - это у нас все точки, имющие в своих координатах 1 или 0. Теперь надо из них что-то выбрать так, чтобы получились грани, так?

Не, Вам не надо комбинировать вершины... Хотя, м.б., можно и попробовать. И, кстати, получается! Попробуйте, например, подсчитать число $1$-мерных граней.

(мой способ)

Я Вам предлагал явно выписать систему уравнений, задающую $m$-мерную грань. Т.е. Вы же должны знать, что такое "грань" в $n$-мерном пространстве. Если брать двоичный куб, то $m-1$-мерная грань - это множество точек, удовлетворяющих уравнению $\sum\limits_{k=1}^na_kx_x=B$. В нашем случае грани двоичного куба параллельны гиперплоскостям координат, значит, уравнение грани - это $x_j=0$ или $x_j=1$ (зная это, мы уже можем посчитать число $m-1$-мерных граней). Все прочие грани получаются как пересечения $m-1$-мерных граней - выписываем системы уравнений для пересечений и считаем их.

[VAL]

[..]
Писал в ЛС, а попал в форум

[Terraniux]

У $n$-мерного куба грани тоже кубы, но уже меньшей размерности (идея принадлежит VAL'у).

(Оффтоп)

Ощущение, что ребер буде $n\cdot2^{n-1}$

[Sonic86]

Terraniux в сообщении #737222 писал(а):

Ощущение, что ребер буде $n\cdot2^{n-1}$

Правильно. Как нашли?

[Terraniux]

Sonic86 в сообщении #737223 писал(а):

Terraniux в сообщении #737222 писал(а):

Ощущение, что ребер буде $n\cdot2^{n-1}$

Правильно. Как нашли?

Куб размерности $n$ получается из куба размерности $n-1$ "копированием" в параллельную $n-1$-мерную плоскость и соответственным соединением вершин. Итого $(n-1)\cdot2^{n-2}\cdot2+2^{n-1}$

[svv]

Способ, на который я намекал. Любая $m$-мерная грань получается, если зафиксировать $n-m$ координат, положив их равными $0$ или $1$. Значит, количество $m$-мерных граней равно числу способов выбрать $n-m$ координат из $n$, умноженному на число способов приписать нули и единицы уже выбранным $n-m$ координатам.

[Sonic86]

Terraniux в сообщении #737229 писал(а):

Куб размерности $n$ получается из куба размерности $n-1$ "копированием" в параллельную $n-1$-мерную плоскость и соответственным соединением вершин. Итого $(n-1)\cdot2^{n-2}\cdot2+2^{n-1}$

Прикольно...
Давайте найдем число ребер способом VAL

VAL в сообщении #737170 писал(а):

Сколько m-мерных граней исходят из каждой вершины?

Вот возьмем одну вершину. Сколько из нее выходят ребер ($1$-граней)?

svv, я извиняюсь, Вы опередели, но вдруг ТС решит обоими способами