Матрица прямого и обратного перехода в тензорном исчислении

[Munin]

illuminates в сообщении #735462 писал(а):

И самое что горит, это ваше слово "ест". Что оно означат в реальности, иль геометрически чтоль?

Это означает функцию. Функция сопоставляет вектору число. То есть, это функция $f\colon V\to\mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$). Вычисление этой функции записывается не как $f(x),$ а как $(f,x)$ или $f_ix^i.$

illuminates в сообщении #735462 писал(а):

2) по второй части
не могу понять вот эту формулу, что в ней происходит $x_b = g_{ab}x^a$ ?
[ковектор]=[метрика нашего базиса]*[вектор]? очень хочется солгать и сказать что $g_{ab}$ - метрика сопряженного базиса и тогда все понятно(хотя бы схематично). Но мне сначала Munin
, а потом и сам увидел в книге, что в $g_{ab}$ входят именно базисные вектора нашего базиса (т е не сопряженного пространства).

Если вы поняли, что такое ковектор, из объяснения Xaositect, то дальше вы должны вспомнить, что с каждым вектором связан "измеритель" - это такой "измеритель", который вычисляет произведение измеряемого вектора на данный. То есть, если у нас есть вектор $f^i,$ то существует (*) скалярное произведение этого вектора с другим вектором $f\cdot x,$ которое работает в точности как "измеритель", который был описан Xaositect. Теперь, чтобы найти этот "измеритель", надо вычислить его компоненты $f_i,$ и они вычисляются в точности по правилу $f_i=g_{ij}f^j=g_{ji}f^j,$ где $g_{ji}$ - матрица чисел, называемая компонентами метрического тензора. Такое преобразование от вектора к "измерителю" называется опусканием индекса. Поскольку скалярное произведение даёт тот же результат, что и "применение" "измерителя", то между разными обозначениями не делают разницы: $f_ix^i=(f,x)=f\cdot x.$

(*) Это верно, если в пространстве задана структура скалярного произведения. В таком случае, существует метрический тензор, и можно опускать и поднимать индексы. И в обратную сторону, если есть метрический тензор, то существует и структура скалярного произведения. Одно всегда существует тогда и только тогда, когда существует другое.

[illuminates]

Можно сказать уважаемые господа каждый по немногу хватанул из моего сообщения и объяснил как полагается, такой коллективный товарищиский труд)
Каждый поделился своими знаниями.
Узнал очень много, очень интересного.
+ прочитал сейчас все темы на форуме которые были по этому поводу открыты, кажется до какой-то степени всё понял.
Теперь самостоятельное изучение.


Позвольте к вам последний вопрос вдогонку?

Вы сказали что скалярное произведение даёт тот же результат, что и применение "измерителя".
То есть этот измеритель можно понимать как сущность в которую заключена проекция одного вектора на другой?

[apriv]

illuminates в сообщении #735023 писал(а):

1) Зачем вообще вводить ковекторы (нижние индексы) для тензоров больше типа (1.1) ?

На свете естественно возникают как минимум тензоры валентности вплоть до третьей (а вообще говоря — совершенно произвольной).

[Munin]

illuminates в сообщении #735531 писал(а):

То есть этот измеритель можно понимать как сущность в которую заключена проекция одного вектора на другой?

О да!

apriv в сообщении #735548 писал(а):

На свете естественно возникают как минимум тензоры валентности вплоть до третьей (а вообще говоря — совершенно произвольной).

Естественно - до 4-й - 6-й (в физике кристаллов, как зависимость одной фигни от другой фигни).

[apriv]

Munin в сообщении #735602 писал(а):

Естественно - до 4-й - 6-й (в физике кристаллов, как зависимость одной фигни от другой фигни).

Ну я не про физику, а про математику самого общего характера, которая везде и всюду.

[svv]

Тензор кривизны.

[illuminates]

Вобщем большое спасибо:
lena7 за указание верной дороги.
svv, Xaositect за красивое и интересное объяснение.
и Munin не писавшего много, но постоянно проверявшему тему, и готовому прийти на выручку.