Матрица прямого и обратного перехода в тензорном исчислении

[illuminates]

Почему формула прямого преобразования векторов использует матрицу обратного перехода, а формула обратного преобразования векторов использует матрицу прямого перехода?

Вопрос так сказать на понимание, из формул всё конечно верно, но как это можно понять? Можно геометрически?

[lena7]

(Оффтоп, потому что НЕ содержит ответа на вопрос темы)

В координатах обычно не понимают, а вычисляют.

Посмотрели, как преобразуются базисные векторы. Потом посмотрели, как при этом преобразуются координаты вектора. Оказалось, наоборот. Называем векторы контравариантными, чтобы не забыть и тупо пользуемся этим.

Посмотрели, как преобразуются координаты линейной формы. Оказалось, так же, как и базисные векторы. Назовём их ковариантными, чтобы не забыть.

Посмотрели, как преобразуются линейные операторы. Оказалось, что наполовину так же, как базисные векторы, а наполовину наоборот. Назовём их 1-раз контравариантными и 1-раз ковариантными, чтобы не забыть.

Не вижу смысла искать в преобразованиях координат какой-то геометрический смысл. А вот, если абстрагироваться от координат, то можно увидеть, что мы работаем с векторным пространством и его сопряжённым, а точнее с их различными тензорными произведениями. Элементы этих произведений называются тензоры. От того, сколько в произведении сопряжённых пространств, а сколько обычных, зависит то, сколько раз ко- и сколько раз контравариантным будут соответствующие тензоры.

[illuminates]

lena7
Спасибо за ответ!

Но к сожалению я никак не могу въехать в эти сопряженные пространства.

Моя эволюция так сказать дошла до того, что я стал понимать что нужно ввести сопряженный базис для скалярного произведения в кривом базисе. Даже понимаю как это всё геометрически работает. Но в объектах типа матриц я не понимаю уже этого различия. Для меня хоть линейные операторы, хоть билинейные формы, значат просто матрицы.

Зачем вообще вводить ковекторы для большей размерности, мы же не хотим что то типа скалярного произведения делать?

Вот есть тензор инерции, тензор диэлектрической проницаемости,пусть даже псевдотензор угловой скорости. У них всё хорошо, им не нужно никакого деления.

-- 09.06.2013, 19:17 --

и еще вопрос почему когда мы вводим метрический тензор в "нашем" базисе (несопряженном), мы его записываем через ковариантные индексы?, не логичнее было бы записать через контрвариантные?

[lena7]

illuminates в сообщении #734691 писал(а):

нужно ввести сопряженный базис для скалярного произведения в кривом базисе.
[...]
Вот есть тензор инерции, тензор диэлектрической проницаемости,пусть даже псевдотензор угловой скорости. У них всё хорошо, им не нужно никакого деления.
[...]
Зачем вообще вводить ковекторы для большей размерности, мы же не хотим что то типа скалярного произведения делать?

Не поняла ничего.

illuminates в сообщении #734691 писал(а):

Но в объектах типа матриц я не понимаю уже этого различия.

Посыл моего предыдущего сообщения был в том, что, работая с координатами (в частности, матрицами), понимать ничего не надо. Надо тупо считать. Координаты для того и придуманы.

illuminates в сообщении #734691 писал(а):

Но к сожалению я никак не могу въехать в эти сопряженные пространства.

Сопряжённое пространство -- это пространство линейных функций. Есть даже способ геометрически представить линейные функции, как семейство гиперплоскостей (это было в Мизнер и др. "Гравитация"), но можно обойтись и без этого. Если задано скалярное произведение, то на любую линейную функцию можно смотреть как скалярное умножение с определённым вектором.

illuminates в сообщении #734691 писал(а):

и еще вопрос почему когда мы вводим метрический тензор в "нашем" базисе (несопряженном), мы его записываем через ковариантные индексы?, не логичнее было бы записать через контрвариантные?

Что значит "логичнее"?

[illuminates]

lena7 в сообщении #734700 писал(а):

Что значит "логичнее"?

вектор нашего базиса записывается через контрвариантные индексы, а почему метрический тензор нашего базиса записывается через ковариантные?

[lena7]

illuminates в сообщении #734708 писал(а):

метрический тензор нашего базиса

Что значит "нашего базиса"? Метрический тензор вводится как билинейная функция на векторах, поэтому он дважды ковариантен.

[illuminates]

lena7
нашего, значит не сопряженного

[lena7]

Я имела в виду, что значат "метрический тензор" и "нашего базиса" в контексте общего словосочетания. Метрический тензор -- он не нашего базиса, он вообще.

[svv]

Не желая никак мешать разговору, поделюсь своими соображениями, ещё по мотивам первоначального вопроса.

Дан вектор $\mathbf c$.
Имеется базис $\{\mathbf e_i\}$ ("старый"), в котором компоненты вектора равны $c^i$.
Имеется базис $\{\tilde {\mathbf e}_i\}$ ("новый"), в котором компоненты вектора равны $\tilde c^i$.
Но сам вектор $\mathbf c$ в обоих случаях один и тот же, меняются только коэффициенты разложения по базисным векторам:
$\mathbf c=c^i\mathbf e_i=\tilde c^k \tilde{\mathbf e}_k$ (*)

Векторы нового базиса можно разложить по векторам старого базиса:
$\tilde{\mathbf e}_k=\alpha^i_k \mathbf e_i$
Допустим, компоненты произвольного вектора в новом базисе линейно выражаются через его компоненты в старом базисе:
$\tilde c^k=\beta^k_\ell c^\ell$
Подставляя эти выражения в (*), получим:
$c^i\mathbf e_i=\alpha^i_k \beta^k_\ell c^\ell \mathbf e_i$
$c^i=\alpha^i_k \beta^k_\ell c^\ell$
Чтобы это выполнялось для любого набора коэффициентов $c$, должно быть $\alpha^i_k \beta^k_\ell=\delta^i_\ell$, или $AB=E$, где $A$ и $B$ -- матрицы, составленные из коэффициентов $\alpha^i_k$ и $\beta^k_\ell$.

Вывод. Чтобы в новом базисе линейная комбинация новых базисных векторов с новыми коэффициентами дала тот же вектор, что и линейная комбинация старых базисных векторов со старыми коэффициентами, для этого базисные векторы и коэффициенты разложения должны преобразовываться с помощью взаимно обратных матриц. Попросту для того, чтобы при перемножении эти матрицы "уничтожили" друг друга, дав единичную матрицу.

При этом, заметьте, как матрица $A$, так и $B$ относятся к прямому преобразованию. Какую из них считать первичной, а какую вторичной -- это вопрос терминологии. Кто-то когда-то решил, что первичной следует считать матрицу $A$, то есть набор коэффициентов разложения новых базисных векторов по старым. Автоматически матрица $B$ стала "обратной". Можно было определить и наоборот, но тогда бы Вы спросили, почему с помощью обратной матрицы преобразуются базисные векторы.

Вот этот момент, что базис и коэффициенты преобразуются "взаимно обратно", можно прочувствовать даже в одномерном случае (ещё и лучше). Представьте, мы измеряем высоту гор и глубину морей. Каждое измеренное значение становится компонентой одномерного вектора. Что здесь разумно считать базисом? Единицу измерения. Пусть, например, это футы. Мы можем перейти к другому базису, где базисным вектором будет "$1$ ярд". Так как один ярд равен трем футам, матрица перехода содержит в качестве единственного элемента число $3$.
Но чтобы высота горы после пересчета была той же, численное значение высоты в новом базисе должно быть в $3$ раза меньше, например:
Высота Эвереста = $29028$ футов = $9676$ ярдов.

Новая единица измерения (базисный вектор) в три раза больше? Значит, в том же объекте этих единиц в три раза меньше. Вот это оно и есть.

[lena7]

(Оффтоп)

svv в сообщении #734728 писал(а):

Кто-то когда-то решил, что первичной следует считать матрицу

То, что первично, определилось при сравнении с тем, как преобразуются базисные векторы. Ибо с их преобразования всё и начинается! Соответственно, "ковариантный" дословно означает "преобразуется также", а контравариантый -- "преобразуется наоборот".

[svv]

lena7, Вы правы. И в моих выкладках естественным образом первой появилась матрица разложения нового базиса по старому. И мне именно так нравится.

А вспомните, что есть множество курсов тензорного исчисления (ориентированных на физиков, к числу коих отношусь и я сам), где говорят исключительно о компонентах и ни слова о базисах. В результате человек не подозревает, что собственно тензор -- это не $a^{ik}_{\ell m}$, а
$\textsf{A}=a^{ik}_{\ell m}\mathbf e_i \otimes\mathbf e_k\otimes\mathbf e^\ell\otimes\mathbf e^m$ (или $a^{ik}_{\ell m}\vec e_i \otimes\vec e_k\otimes\tilde\omega^\ell\otimes\tilde\omega^m$).
И ничего, живут, вычисляют всё, что нужно. Как им объяснить, по отношению к чему контравариантно преобразуются их основные объекты -- компоненты векторов?

[SpBTimes]

А мне тоже казалось, что из одномерного случая все очень ясно.
Вот если, скажем, есть у вас два базисных вектора на прямой $e$ и $f$. И вы знаете, что новый базисный вектор $f$ может быть представлен, как $f = \alpha e$.
Представьте теперь, что вы хотите перевести вектор $x = \beta e$ в новый базис. Что будете делать?

[lena7]

(Оффтоп)

svv в сообщении #734747 писал(а):

Как им объяснить, по отношению к чему контравариантно преобразуются их основные объекты -- компоненты векторов?

По отношению к любому ковариантному тензору. Скажем, ковектору. Ковектор -- довольно естественный объект для физиков. Например, сила -- ковектор (если смотреть на неё как на функционал от перемещения). Градиент -- ковектор.

[svv]

(Оффтоп)

Ну, в таком случае хорошо же Вам удалось (в "будущем потенциальном" времени) обвести бедных физиков вокруг пальца, если, выдвигая им в качестве первичного закон преобразования компонент ковектора, Вы про себя имеете в виду закон преобразования базисных векторов!

Хотя связь при желании найти можно, ведь $k$-я компонента ковектора есть значение ковектора на $k$-м базисном векторе:
$\alpha_k=\tilde{\alpha}(\vec e_k)$ ,
откуда немедленно получается совпадение упомянутых законов преобразования.

[Munin]

svv в сообщении #734747 писал(а):

А вспомните, что есть множество курсов тензорного исчисления (ориентированных на физиков, к числу коих отношусь и я сам), где говорят исключительно о компонентах и ни слова о базисах. В результате человек не подозревает, что собственно тензор -- это не $a^{ik}_{\ell m}$, а
$\textsf{A}=a^{ik}_{\ell m}\mathbf e_i \otimes\mathbf e_k\otimes\mathbf e^\ell\otimes\mathbf e^m$ (или $a^{ik}_{\ell m}\vec e_i \otimes\vec e_k\otimes\tilde\omega^\ell\otimes\tilde\omega^m$).

Есть такая штука, называется метод абстрактных индексов. Она позволяет записывать $a^{ik}{}_{\ell m},$ не фиксируя, и даже не оговаривая, никакого базиса, и соответственно, проводить вычисления в простой, знакомой и компактной нотации. Можно его рассматривать, как "способ физиков отмахнуться от зануд-математиков", но там всё строго и чётко.