Найти область сходимости ряда

[Cash]

Ktina в сообщении #735205 писал(а):

xmaister в сообщении #735196 писал(а):

Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

А более простого док-ва нет?

$\cos {2nx}=2\cos^2{nx}-1$

[xmaister]

Cash в сообщении #735268 писал(а):

А более простого док-ва нет?

А что тут сложного? Ну разве что доказать, что всяка подгруппа $(\mathbb{R},+)$ либо цилкинча либо плотна хотя это вовсе не сложно. Плотность отметаем сразу из-за непрерывности косинуса. Циклические группы мы знаем какие. Остается рассмотреть изоморфные $\mathbb{Z}$, но тут надо делать аккуратно (Я поленился ). На вскидку, не должно возникнуть проблем.

[Cash]

xmaister, но надеюсь Вы не станете спорить, что рассуждение:
из формулы $\cos {2nx}=2\cos^2{nx}-1$ вытекает, что если $|\cos {nx}| < \frac12$, то $|\cos {2nx}| > \frac12$
всё-таки несколько проще

[xmaister]

Согласен, просто я как всегда ссылаюсь на немного более сложный факт, который в исходной постановке оказался вовсе не нужным. Тем не менее фокусы с подгруппой $G=\{nx+2\pi m|n,m\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R}$- классика, вроде как . Случай $G\cong \mathbb{Z}$ оказывается тоже тривиальный. Действительно, получаем что $x=q\pi,q\in\mathbb{Q}$.