Индуктивность линии провод-плоскость

[well75]

Всем привет! Вот задача. Подскажите как решать.
Провод радиуса r бесконечной длины расположен параллельно металлической плоскости и находиться от неё на расстоянии h
Нужно определить индуктивность этой линии. Среда в которой находится провод - воздух.

Как вариант. По методу изображений фиктивный ввожу ток I2, который вместе с исходным током I1 создает поле.
Вопрос какие потоки посчитать, и как потом получить погонную индуктивность линии

[Alex-Yu]

well75 в сообщении #734884 писал(а):

Как вариант. По методу изображений фиктивный ввожу ток I2, который вместе с исходным током I1 создает поле.
Вопрос какие потоки посчитать, и как потом получить погонную индуктивность линии

Метод изображений -- это правильно. Но дальше можно проще (но изощренне). Вместо этой задачи решаем аналогичную электростатическую задачу, находим погонную емкость. В приближении тонкого провода просто "раз плюнуть". Далее переходим к задаче о линии передачи с Т-волной. У такой волны скорость равна скорости света т.е. известна. А тогда через погонную емкость выражается волновое сопротивление этой линии передачи. Зная волновое сопротивление линии, находим индуктивность ее маленького кусочка закороченного на одном конце. Тоже проще некуда. Все. И никаких интегралов брать не надо. Впрочем, может прямо взять интеграл и даже проще. Возмите маленький кусок линии и найдите поток сцепленный с таким контуром (добавьте две закоротки на концах).

[Kamaz]

Чей-то мне кажется, что ток изображения и реальный ток будут течь в одну сторону и будут равны по величине. Значит, поток будет равен нулю. Если, конечно, я ничего не напутал.))

[well75]

Alex-Yu в сообщении #735041 писал(а):

Вместо этой задачи решаем аналогичную электростатическую задачу, находим погонную емкость.

Очень интересная идея Alex-Yu. Благодарю, буду пробовать
Но пока решил пойти стандартным путем, интегралы считать. Вот рисунок http://yadi.sk/d/ToHzPl9Z5gipJ
А вот решение, не знаю верное ли оно. Сомнение вызывает, что контур ABCD я выбрал верно и общий поток верно ли рассчитан http://yadi.sk/d/BOeW7d8U5giNJ

Kamaz в сообщении #735047 писал(а):

Чей-то мне кажется, что ток изображения и реальный ток будут течь в одну сторону и будут равны по величине. Значит, поток будет равен нулю. Если, конечно, я ничего не напутал.))

Да действительно токи равны, так как проводник идеальный. Поток результирующий тоже мал, но не нулевой, так как я взял контур над плоскостью, а не между проводником и его изображением как в реальной линии. вопрос только, прав ли я

[profrotter]

well75 в сообщении #735150 писал(а):

Сомнение вызывает, что контур ABCD я выбрал верно

Тут надо посмотреть что же называется погонной индуктивностью двухпроводной линии. И думается мне, что в определении погонной индуктивности фигурирует и приходящийся на единицу длины поток, а считается он вдоль линии соединяющей проводники. Словом - что будем искать, то и найдём.

[well75]

profrotter в сообщении #735154 писал(а):

приходящийся на единицу длины поток, а считается он вдоль линии соединяющей проводники

Значит контур верно выбран, если он находиться как раз между проводом и плоскостью

[profrotter]

Контур уже выбрали за вас, когда вводили параметр "погонная индуктивность двухпроводной линии". (Точнее когда выводили телеграфные уравнения.) Он лежит в плоскости, соединяющей центры проводников и соединяет проводники. Ваша же задача в том, чтобы просто знать определение. Определения знают те, кто открывает учебники.

А ещё задача о нахождении погонной индуктивности двухпроводной линии уже давно решена. Решение есть в учебниках. Вы свою задачу формально решили, когда перешли к двухпроводной линии по методу изображений. Кстати, Вы в какой учебник смотрите?

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #735047 писал(а):

Чей-то мне кажется, что ток изображения и реальный ток будут течь в одну сторону и будут равны по величине. Значит, поток будет равен нулю. Если, конечно, я ничего не напутал.))

Именно напутал. Будут течь в противоположные стороны. Ну представьте себе медленно разряжающийся диполь. Пусть плюс слева, а минус -- справа. Ток течет слева направо. Тогда у зеркального диполя наоборот, а ток течет справа налево. Вообще метод изображений это из электростатики. Но иногда его можно "притянуть" и к другим задачам. Для Т-волн так запросто притягивается: легко доказывается, что электрическое поле в Т-волне поперек ее распространения удовлетворяет уравнениям электростатики. Хотя статическим при этом не является

-- Вт июн 11, 2013 12:20:36 --

well75 в сообщении #735150 писал(а):

Очень интересная идея Alex-Yu. Благодарю, буду пробовать
Но пока решил пойти стандартным путем, интегралы считать. Вот рисунок http://yadi.sk/d/ToHzPl9Z5gipJ
А вот решение, не знаю верное ли оно. Сомнение вызывает, что контур ABCD я выбрал верно и общий поток верно ли рассчитан http://yadi.sk/d/BOeW7d8U5giNJ

Ну во-первых на рисунке неправильно направлен зеркальный ток.

-- Вт июн 11, 2013 12:33:05 --

profrotter в сообщении #735154 писал(а):

Тут надо посмотреть что же называется погонной индуктивностью двухпроводной линии.

ВСЕГДА индуктивностью называется $L$ входящая в формулу $E=L i^2/2 \,$. Энергия --- штука совершенно определенная. А вот с формулой $\Phi=Li$ действительно могут возникнуть проблемы: не всегда в точности ясно какой контур. При возникновений таких нужно обращаться к первой формуле.

-- Вт июн 11, 2013 12:38:20 --

profrotter в сообщении #735264 писал(а):

А ещё задача о нахождении погонной индуктивности двухпроводной линии уже давно решена. Решение есть в учебниках.

У тех, кто по любом поводу обращается к учебнику, атрофируются мозги. Все формулы (и не только формулы) надо получать самому. А учебник это только для ориентировки в какую сторону думать. Ну и для проверкки не заврался ли совсем Я так не знаю вообще ни одной формулы, которую я бы когда-либо не выводил самостоятельно. И, как правило, не в точности по книжкам выводил, своим путем

P.S. А вообще задачка очень полезная, если подойти к ней основательно. Например предлагаю дополнительно обдумать вопрос: что будет если частота настолько низкая, что глубина скин-слоя: 1. много больше диаметра провода, но много меньше расстояния от провода до плоскости, 2. много больше и того и другого. Довольно нетривиальные вопросы

[Kamaz]

Alex-Yu в сообщении #735275 писал(а):

Именно напутал.

Да, действительно, знак индуцированного заряда перепутал. На коленке писал, торопился

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #735275 писал(а):

Например предлагаю дополнительно обдумать вопрос: что будет если частота настолько низкая, что глубина скин-слоя: 1. много больше диаметра провода, но много меньше расстояния от провода до плоскости, 2. много больше и того и другого. Довольно нетривиальные вопросы

Между проводом и плоскостью - воздух. О каком в нем скин-слое можно вести речь?

[well75]

profrotter в сообщении #735264 писал(а):

Контур лежит в плоскости, соединяющей центры проводников и соединяет проводники.

Проблема в том, что второй объет - плоскость. Поэтому моё предположение, что контур нужно выбирать между осью проводника и плоскостью, а не между осями реального и фиктивного проводников

Alex-Yu в сообщении #735275 писал(а):

могут возникнуть проблемы: не всегда в точности ясно какой контур

Следуя Вашей рекомендиции нужно взять за основу энергию. А как её посчитать если не известна индуктивность?

profrotter в сообщении #735264 писал(а):

Ваша же задача в том, чтобы просто знать определение.

Думаю Вы намного сужаете мою задачу. Определение пог. индуктивности - не единственное знание требуемое для решения задачи, оно может служить точкой отсчёта

profrotter в сообщении #735264 писал(а):

Определения знают те, кто открывает учебники.

Тоже не факт :)

profrotter в сообщении #735264 писал(а):

А ещё задача о нахождении погонной индуктивности двухпроводной линии уже давно решена. Решение есть в учебниках.

Я встречал много задач на данную тему, например коаксиальный кабель, полосковая линия и т.д. Но провод и плоскость - впервые

Alex-Yu в сообщении #735275 писал(а):

Именно напутал. Будут течь в противоположные стороны.
............................................................
Ну во-первых на рисунке неправильно направлен зеркальный ток.

У Бессонова (это также к вопросу, какой учебник) направление фиктивного тока зависит от соотношения магнитных пронициаемостей сред http://snag.gy/2epU3.jpg
Если первая среда -воздух (пронициаемость m1=1) где находиться провод, а вторая проводник (m2 = бесконечность), то получается что токи сонаправлены I2 = I1*(m2-mu1)/(m2+m1) => I2=I1
Правда автор рассматривает токи вблизи металлических масс. В нашем случае речь идет о плоскости

[Alex-Yu]

well75 в сообщении #735318 писал(а):

Следуя Вашей рекомендиции нужно взять за основу энергию. А как её посчитать если не известна индуктивность?

Та же самая энергия -- это энергия магнитного поля:

$$ \int \frac{1}{2}{\bf BH} dV $$

Поле выражается через токи и в итоге получается, что энергия пропорциональна току в квадрате. Коэффициент в этой пропорциональности --- это $L/2$ по определению.

-- Вт июн 11, 2013 16:30:44 --

well75 в сообщении #735318 писал(а):

Я встречал много задач на данную тему, например коаксиальный кабель, полосковая линия и т.д. Но провод и плоскость - впервые

Ну Вы же с помощью метода зеркального отражения перешли к фактически двухпроводной симметричной линии. Вот она и есть, только половину взять

-- Вт июн 11, 2013 16:31:19 --

DimaM в сообщении #735310 писал(а):

Между проводом и плоскостью - воздух. О каком в нем скин-слое можно вести речь?

В проводниках.

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #735339 писал(а):

DimaM в сообщении #735310 писал(а):
Между проводом и плоскостью - воздух. О каком в нем скин-слое можно вести речь?

В проводниках.

Тогда непонятен смысл сравнения толщины скин-слоя с расстоянием между проводниками.

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #735355 писал(а):

Тогда непонятен смысл сравнения толщины скин-слоя с расстоянием между проводниками.

А Вы подумайте. Это же развитие задачи, именно для того, чтобы научиться думать, ставить новые задачи и т.д. Подскажу только одно: думать тут лучше в рамках энергетического подхода.

[profrotter]

well75 в сообщении #735318 писал(а):

Думаю Вы намного сужаете мою задачу.

Вы не думайте. Просто запишите определение. Что называется погонной индуктивностью двухпроводной линии? Что Вы вообще ищите? Сколько вешать в гра-м-м-ах?

К счастью неплохая книжка совсем рядом: Электромагнитные волны. Вайнштейн Л.А. 1988 Я хотел бы обратить ваше внимание на главу VI и задачи к ней.

И ещё раз: контур выбран в определении термина "погонная индуктивость". Иначе у вас просто нет никакого критерия правильности выбора этого конутра. Подумайте над этим.