Пусть
![$x\ge 1$ $x\ge 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/5/83537de6ef8dd97a7d632489bb57857382.png)
.
Левая часть имеет вид
![$\{h(x)\}$ $\{h(x)\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/a/b0a133c90506b034e45a29f1ed3e621682.png)
, где
![$h(x)=x^{10}$ $h(x)=x^{10}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/f/a1f33cdcb86058056e5071aa50ce634682.png)
- возрастающая функция. Она непрерывна и принимает все значения от 1 до
![$+\infty $ $+\infty $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/7/7775f52ea24570b848a84da6f3ef53f482.png)
. Каждый промежуток
![$k\le h(x)<k+1$ $k\le h(x)<k+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/d/11debe5d7e6c0c2843eb7d00b107ce0d82.png)
функцией "дробная часть" преобразуется в полуинтервал
![$[0; 1)$ $[0; 1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/6/7567b881bb53958d46630378ba05c68882.png)
. Он пересекается с прямой
![$y=10^{-1000}x$ $y=10^{-1000}x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/8/678785ca04dd3a208fcebef19839fc4482.png)
, если
![$0\le 10^{-1000}x < 1$ $0\le 10^{-1000}x < 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/3/7d3831d17d77ae066962c7051a4a6fb782.png)
, т.е.
![$1\le x <10^{1000}$ $1\le x <10^{1000}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/2/522980ad2e20da70e77742902661bc2a82.png)
, при этом
![$1\le h(x) <10^{10000}$ $1\le h(x) <10^{10000}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f0b96326ea9ac0a889a7e24ef326ab282.png)
.
Значит, надо найти число целых значений (
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
) в промежутке от 1 до
![$N=10^{10000}$ $N=10^{10000}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/e/21e4c1177f575e28d91780cb4c1b552882.png)
, последнее невключительно. Их будет
![$N-1$ $N-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e35caf405a5e9b4afd75a0d338c4dc1282.png)
.
Если рассматривать
![$x\ge 0$ $x\ge 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd76c4c1547d8a18e694401beed3d78e82.png)
, получим
![$N+1$ $N+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/9/1d9fbd45300f5c63e198fef59879276482.png)
решение.
-- 09.06.2013, 21:47 --Являются ли функции там непрерывными? А монотонными?
Ну, монотонность тут не поможет, так как и левая, и правая части возрастающие. Например, от 0 до 1 они пересекаются 2 раза. Видимо, на каждом из остальных промежутков будет по 1 пересечению, но это надо проверить. Не знаю пока, как это сделать проще всего.