Пересечение функций

[Keter]

Legioner93, а надо ли учесть, что в $x=10^{1000}$ пересечения не будет?

[Legioner93]

Keter в сообщении #734787 писал(а):

provincialka, я имею в виду строгое доказательство этого факта

Да куда уж строже. На промежутке интервале $(\sqrt[10]{k},\sqrt[10]{k+1})$ функции ведут себя как что? Какие значения на концах принимает каждая? Являются ли функции там непрерывными? А монотонными? Тогда сколько точек пересечения будет на интервале? А сколько всего таких интервалов?
Функции, разумеется, имеются в виду не первоначальные, а те, что предложила provincialka - дробная часть и $kx$.

Keter в сообщении #734793 писал(а):

Legioner93, а надо ли учесть, что в $x=10^{1000}$ пересечения не будет?

Вы правы. Так и знал, что где-нибудь забуду единицу или наоборот лишнюю возьму.
Но уж точно очевидным является, что ответ $10^{10000} \pm 1$, ну максимум $10^{10000} \pm 2$

[provincialka]

Пусть $x\ge 1$.

Левая часть имеет вид $\{h(x)\}$, где $h(x)=x^{10}$ - возрастающая функция. Она непрерывна и принимает все значения от 1 до $+\infty $. Каждый промежуток $k\le h(x)<k+1$ функцией "дробная часть" преобразуется в полуинтервал $[0; 1)$. Он пересекается с прямой $y=10^{-1000}x$, если $0\le 10^{-1000}x < 1$, т.е. $1\le x <10^{1000}$, при этом $1\le h(x) <10^{10000}$.
Значит, надо найти число целых значений ($k$) в промежутке от 1 до $N=10^{10000}$, последнее невключительно. Их будет $N-1$.

Если рассматривать $x\ge 0$, получим $N+1$ решение.

-- 09.06.2013, 21:47 --

Legioner93 в сообщении #734796 писал(а):

Являются ли функции там непрерывными? А монотонными?

Ну, монотонность тут не поможет, так как и левая, и правая части возрастающие. Например, от 0 до 1 они пересекаются 2 раза. Видимо, на каждом из остальных промежутков будет по 1 пересечению, но это надо проверить. Не знаю пока, как это сделать проще всего.

[Keter]

Всего на $[0; 10^{1000} ]$ палочек дробной части $N=10^{10000}$, с последней палочкой пересечения нет. Но дело в том, что палочки немного кривые и на $[0;1)$ будет два пересечения.

Тогда по идеи на $[0; +\infty)$ будет $N$ пересечение. А на $[1; +\infty)$ -- $N-3$, убираем два пересечения в начале и на конце нет пересечения.

[Legioner93]

provincialka в сообщении #734797 писал(а):

Legioner93 в сообщении #734796 писал(а):

Являются ли функции там непрерывными? А монотонными?

Ну, монотонность тут не поможет, так как и левая, и правая части возрастающие. Например, от 0 до 1 они пересекаются 2 раза. Видимо, на каждом из остальных промежутков будет по 1 пересечению, но это надо проверить. Не знаю пока, как это сделать проще всего.

Монотонность просто лишняя, да. Если убрать из рассмотрения первый и последний интервал (их можно рассмотреть отдельно), то всё очень просто. На интервале $(\sqrt[10]{k},\sqrt[10]{k+1})$ обе функции = отрезки. Один из них соединяет точку $(\sqrt[10]{k},0)$ с $(\sqrt[10]{k+1},1)$. Второй - $(\sqrt[10]{k},\text{что-то, большее нуля})$ с $(\sqrt[10]{k+1},\text{что-то, меньшее единицы})$. Ну и сколько раз пересекаются эти отрезки?

provincialka в сообщении #734797 писал(а):

Например, от 0 до 1 они пересекаются 2 раза.

А кроме $(0,0)$ ещё где?

[Keter]

Legioner93 в сообщении #734805 писал(а):

А кроме $(0, 0)$ ещё где?

$$x=10^{\frac{-1000}{9}}$$

Это ясно, если посмотреть на $[x^{10}]=x^{10} - (0,1)^{1000}x,$ можно взять производную правой части и посмотреть промежутки возрастания.

[Legioner93]

Keter
Да, есть пересечение. Сдаюсь.

[provincialka]

Так, уже не знаю кому отвечать. Попробую всем. На отрезке от 1 до $N$ функция $\{t\}$ имеет $$N-1$ непрерывных кусков. Это отрезки. Но после подстановки $t=x^{10}$ "отрезками" их считать нельзя, они немного выпуклы вниз. На промежутке $[0,1)$ функция $x^{10}$ вначале растет чрезвычайно медленно, касается оси $Ox$, поэтому на каком-то малом промежутке лежит ниже нашей прямой. Но тем не менее ближе к 1 ее значение почти равно 1, т.е. выше прямой. Получаем еще одну точку пересечения.

Конечно, далее функция растет быстро и выпуклость ее почти незаметна, но она же есть! Так что доказательство все же нужно. Может, использовать формулу конечных приращений Лагранжа?

[Legioner93]

provincialka в сообщении #734815 писал(а):

Конечно, далее функция растет быстро и выпуклость ее почти незаметна, но она же есть! Так что доказательство все же нужно. Может, использовать формулу конечных приращений Лагранжа?

Выпуклости вниз по-моему достаточно.

[Keter]

provincialka, вот об этом я и говорил. Как-бы понятно, что чем дальше, тем меньше выпуклость...

Legioner93, на $[0; 1)$ функция $[x^{10}]$ имеет характер прямой $x=0.$ И есть $f(x)=x^{10}-(0,1)^{1000}x.$
$f(x)=0$ имеет два решения на этом промежутке: $x=0, x=\sqrt[9]{10^{-1000}}$.
К тому же $f(x)=x^{10}-(0,1)^{1000}x$ убывает на $[0; \sqrt[9]{10^{-1001}}]$, а возрастает на $[\sqrt[9]{10^{-1001}}; +\infty).$ И $\sqrt[9]{10^{-1001}} < \sqrt[9]{10^{-1000}}.$

[provincialka]

Нет, выпуклости (в любую сторону) недостаточно. Ведь на отрезке $[0,1]$ она тоже есть! Но пересечений 2. Раз функция выпукла, у нее есть секущая, прямая, которая пересекает ее в двух точках. Другое дело, что наклон этой секущей (по теореме о конечных приращениях) равен значению производной в некоторой промежуточной точке. А эта производная $10x^9$ при $x\ge1$ принимает значения не менее $10>10^{-1000}$

[Legioner93]

Как-нибудь так. На интервале $(\sqrt[10]{n},\sqrt[10]{n+1})$ функция $\{x^{10}\}=x^{10} - C$, поэтому выпукла вниз. При пересечении с соответствующим отрезком $10^{-1000}x$ первая производная $\{x^{10}\}$ уже больше $10^{-1000}$, так как равна $10x^9$. И дальше (после пересечения) первая производная будет только возрастать, в силу положительности второй. Нового пересечения уж точно не будет.

Короче, выпуклая функция с прямой пересекается не более двух раз. Наша точка пересечения - уже "вторая", если подумать.

[provincialka]

Legioner93, наши мысли идут параллельно. Но все-таки, думаю, что ссылка на теорему выглядит надежнее. Мое решение - это "причесанное" ваше

(Оффтоп)

(все-таки 22 года преподавания матана что-нибудь да значат )

[Keter]

provincialka, Legioner93, а не легче ли нам сделать следующим образом:
каждый промежуток монотонности $\{ x^{10} \}$, если второй поднять на единицу вверх, третий - на две, k-тый - на k-1, у нас сложится в ветвь параболы $x^{10}$. Если что, первый промежуток $[0; 1)$ и так далее.
То есть мы можем говорить, что все эти палочки - опущенные части нашей параболы.
А уравнение $x^{10}-k=x 10^{-1000} \quad \Big( k \in \mathbb{N}_0, 0 \le k < 10^{10000} \Big)$ имеет при $k=0$ два решения, а при $k>0$ только одно решение, так как $\varphi(x)=x^{10}-x 10^{-1000}$ монотонно возрастает на $[1; +\infty).$