Ангем: собственные вектора и значения у шахматной матрицы

[miraina]

Найти собственные значения и собственные вектора матрицы:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $​

Собственные значения находятся влет: $\operatorname{Sp A} = 0, 0, 2, 2$
А что делать с собственными векторами? Их просто не существует?

[Xaositect]

Если есть собственные значения, то собственных векторов не может не существовать.
Как Вы пытаетесь их искать?

[Ms-dos4]

miraina
Вообще-то $\[{\mathop{\rm Sp}\nolimits} A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kk}}} \]$ - т.е. это обозначает след матрицы, а никак не собственные значения (хотя выписали вы собственные значения верно).

Теперь, с чего вы взяли, что собственных векторов нету?

[Xaositect]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #734785 писал(а):

miraina
Вообще-то $\[{\mathop{\rm Sp}\nolimits} A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kk}}} \]$ - т.е. это обозначает след матрицы, а никак не собственные значения (хотя выписали вы собственные значения верно).

Скорее всего, имеется в виду слово "спектр". Обозначение действительно неудачное.

[miraina]

Xaositect в сообщении #734784 писал(а):

Если есть собственные значения, то собственных векторов не может не существовать.
Как Вы пытаетесь их искать?

Нас учили так: сверху пишем единичную матрицу, снизу $A-\lambda E$, т.е. для $\lambda = 0$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ​$$​
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} ​$$​

И пытаемся привести нижнюю матрицу к нулевой. Все преобразования проделываем и с верхней матрицей. Все нулевые столбцы нижней матрицы соответствуют собственным векторам, которые образовались в верхней.

[Xaositect]

Вы неправильно написали $A-\lambda E$. Почему у Вас матрица вообще как-то изменилась при вычитании нуля?

[g______d]

Можно еще посмотреть на матрицу

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, $​

решить задачу для неё, а потом понять, как она связана с исходной.

[provincialka]

Там по определению собственного вектора все мгновенно получается. А зачем подписывать одну матрицу под другой? Никогда такого не делала!

[Xaositect]

provincialka в сообщении #734809 писал(а):

Там по определению собственного вектора все мгновенно получается. А зачем подписывать одну матрицу под другой? Никогда такого не делала!

Это метод Гаусса для решения системы $(A -\lambda E)x = 0$. Я тоже первый раз вижу такую вариацию, но должно работать.

[provincialka]

Xaositect в сообщении #734813 писал(а):

.Это метод Гаусса для решения системы $(A -\lambda E)x = 0$. Я тоже первый раз вижу такую вариацию, но должно работать.

Да? Может быть. Но это - из пушки по воробьям. Обе системы получаются чрезвычайно простыми, решение выписывается без вычислений.

[ewert]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #734786 писал(а):

Скорее всего, имеется в виду слово "спектр". Обозначение действительно неудачное.

Я тоже прочитал как Шпур и впал в некоторое недоумение.

miraina в сообщении #734782 писал(а):

А что делать с собственными векторами? Их просто не существует?

Как может не существовать (нет, как в принципе может) собственных векторов у вещественной симметричной матрицы?...

[bot]

Xaositect в сообщении #734784 писал(а):

Если есть собственные значения, то собственных векторов не может не существовать.

А это как?

-- Пн июн 10, 2013 10:18:31 --

А здесь и вовсе

provincialka в сообщении #734821 писал(а):

Обе системы получаются чрезвычайно простыми, решение выписывается без вычислений.

[Xaositect]

bot в сообщении #734906 писал(а):

Xaositect в сообщении #734784 писал(а):

Если есть собственные значения, то собственных векторов не может не существовать.

А это как?

Это я не в смысле $\neg\neg\exists$, это я в смысле, что существуют они всегда

[bot]

А да, я не так читал - одно не (перед может) пропустил.

[Евгений Машеров]

Два напрашиваются сразу. Вектор из единиц и вектор (1, -1, 1, -1). Третий - нулевой;).