Не желая никак мешать разговору, поделюсь своими соображениями, ещё по мотивам первоначального вопроса.
Дан вектор

.
Имеется базис

("старый"), в котором компоненты вектора равны

.
Имеется базис

("новый"), в котором компоненты вектора равны

.
Но сам вектор

в обоих случаях один и тот же, меняются только коэффициенты разложения по базисным векторам:

(*)
Векторы нового базиса можно разложить по векторам старого базиса:

Допустим, компоненты произвольного вектора в новом базисе линейно выражаются через его компоненты в старом базисе:

Подставляя эти выражения в (*), получим:


Чтобы это выполнялось для любого набора коэффициентов

, должно быть

, или

, где

и

-- матрицы, составленные из коэффициентов

и

.
Вывод. Чтобы в новом базисе линейная комбинация новых базисных векторов с новыми коэффициентами дала тот же вектор, что и линейная комбинация старых базисных векторов со старыми коэффициентами, для этого базисные векторы и коэффициенты разложения должны преобразовываться с помощью взаимно обратных матриц. Попросту для того, чтобы при перемножении эти матрицы "уничтожили" друг друга, дав единичную матрицу.
При этом, заметьте, как матрица

, так и

относятся к прямому преобразованию. Какую из них считать первичной, а какую вторичной -- это вопрос терминологии. Кто-то когда-то решил, что первичной следует считать матрицу

, то есть набор коэффициентов разложения новых базисных векторов по старым. Автоматически матрица

стала "обратной". Можно было определить и наоборот, но тогда бы Вы спросили, почему с помощью обратной матрицы преобразуются базисные векторы.
Вот этот момент, что базис и коэффициенты преобразуются "взаимно обратно", можно прочувствовать даже в одномерном случае (ещё и лучше). Представьте, мы измеряем высоту гор и глубину морей. Каждое измеренное значение становится компонентой одномерного вектора. Что здесь разумно считать базисом? Единицу измерения. Пусть, например, это футы. Мы можем перейти к другому базису, где базисным вектором будет "

ярд". Так как один ярд равен трем футам, матрица перехода содержит в качестве единственного элемента число

.
Но чтобы высота горы после пересчета была той же, численное значение высоты в новом базисе должно быть в

раза меньше, например:
Высота Эвереста =

футов =

ярдов.
Новая единица измерения (базисный вектор) в три раза больше? Значит, в том же объекте этих единиц в три раза меньше. Вот это оно и есть.