Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского

[rabbit-a]

Уважаемые математики, не поможете ли разобраться в терминологии?!
1.) Что такое определитель Вронского? (как я понимаю, он же «вронскиан»)
В учебнике Н.М. Матвеева «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», изд. 5-ое, СПб, 2005 г. на стр. 662 рассматривается $n$ систем функций

$$\begin{cases} y_{1k} (k=1,\ldots, n)\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ y_{nk} (k=1,\ldots, n)\\ \end{cases}$$

и определитель Вронского определяется как

$$W(x)=\left|\begin{array}{cccc} y_{11} & y_{12} & \ldots & y_{1n}\\ y_{21} & y_{22} & \ldots & y_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ y_{n1} & y_{n2} & \cdot & y_{nn}\\ \end{array}\right|$$

Ранее у нас на лекциях определитель Вронского определялся для системы (правда, одной!) функций $\{f_1(x), f_2(x), \ldots , f_n(x)\}$

как

$$W(x)=\left|\begin{array}{cccc} f_1(x) & f_2(x) & \ldots & f_n(x)\\ f’_1(x) & f’_2(x) & \ldots & f’_n(x)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f^{(n)}_1(x) & f^{(n)}_2 & \ldots & f^{(n)}_n\\ \end{array}\right|$$

так же он определяется и в большом энциклопедическом словаре по математике, причем обозначаются они одной и этой же буквой.

Как следует его правильно понимать, может быть, еще какие-нибудь определения есть? Или, быть может, это определяет контекст? (но, честно говоря, это путает, особенно когда речь шла доказательстве формулы Лиувилля-Остроградского). Правильно ли я понимаю, что при доказательстве формулы Лиувилля-Остроградского определ. Вронского нужно понимать в первом варианте определения?

2) Близкий по существу вопрос. Речь идет о формуле Лиувилля-Остроградского для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

$\det X(t)=\det(X(t_0))\cdot \exp \int_{x_0}^x \operatorname{tr} A(t) dt$

Верно ли я понимаю, что формула Лиувилля -Остроградского не позволяет находить решения, зная только начальные условия и саму систему (про то как она используется для нахождения линейно независимого решения по одному уже известному решению для ДУ II порядка мне понятно), а представляет собой просто некоторое соотношение или она может быть непосредственно использована для построения решения? Но тогда как? Ведь, мы пока не нашли решения системы не можем составить $ \det X(t_0) $?!
3) Верно ли, что если какое-либо решение системы выражается в квадратурах, то и другие линейно-независимые решения выражаются в квадратурах или это не обязательно?

[SpBTimes]

Что там за игреки в первом случае? Это нуждается в пояснении. Классически, определитель ВРонского понимается именно в смысле вашего второго определения

rabbit-a в сообщении #734404 писал(а):

(правда, одной!)

где ж там одна функция-то?

[Otta]

SpBTimes в сообщении #734460 писал(а):

где ж там одна функция-то?

:) Система одна.
rabbit-a, но в первом случае она тоже одна (во всяком случае, можно и так посмотреть). $(y_1,\ldots,y_n)$. $k$ - это номер координаты вектор-функции. Первый определитель используется для систем ДУ. $y_j$ - решения системы. Второй для уравнений $n$-го порядка.

[Padawan]

Если линейное уравнение $n$-того порядка свести к системе уравнений первого порядка стандартным способом ($y'=y_1, y_1'=y_2,\ldots, y_{n-1}'=f(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_{n-1})$) и для его $n$ решений записать первый определитель, то он совпадет со вторым определителем для соответствующих $n$ решений исходного уравнения.

[rabbit-a]

Да, кажется, понятно. Otta, но тогда выходит что решение системы $n$ ДУ можно записать в виде матрицы размерности $n\times n$решений, а можно в виде вектора (если желаете могу привести пример простенькой системы).

Уважаемый Padawan, очень Вам благодарен! Это все проясняет, действительно, выходит что по-сути это два разных вида одного и того же определения. Первый вопрос полностью ясен.

[Otta]

rabbit-a
Почему же. Решение-то системы - это вектор (функция). Всегда.
А уж из них ($n$ штук) составляется матрица определителя.