2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение08.06.2013, 17:29 
Аватара пользователя
Уважаемые математики, не поможете ли разобраться в терминологии?!
1.) Что такое определитель Вронского? (как я понимаю, он же «вронскиан»)
В учебнике Н.М. Матвеева «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», изд. 5-ое, СПб, 2005 г. на стр. 662 рассматривается $n$ систем функций
$$\begin{cases}
y_{1k} (k=1,\ldots, n)\\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
y_{nk} (k=1,\ldots, n)\\
\end{cases}$$
и определитель Вронского определяется как
$$W(x)=\left|\begin{array}{cccc}
y_{11} & y_{12} & \ldots & y_{1n}\\
y_{21} & y_{22} & \ldots & y_{2n}\\
\ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots \\
y_{n1} & y_{n2} & \cdot  & y_{nn}\\
\end{array}\right|$$
Ранее у нас на лекциях определитель Вронского определялся для системы (правда, одной!) функций $\{f_1(x), f_2(x), \ldots , f_n(x)\}$

как $$W(x)=\left|\begin{array}{cccc}
f_1(x) &  f_2(x) & \ldots  & f_n(x)\\   
f’_1(x) & f’_2(x) & \ldots & f’_n(x)\\
\ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots \\
f^{(n)}_1(x) & f^{(n)}_2 & \ldots  & f^{(n)}_n\\
\end{array}\right|$$
так же он определяется и в большом энциклопедическом словаре по математике, причем обозначаются они одной и этой же буквой.

Как следует его правильно понимать, может быть, еще какие-нибудь определения есть? Или, быть может, это определяет контекст? (но, честно говоря, это путает, особенно когда речь шла доказательстве формулы Лиувилля-Остроградского). Правильно ли я понимаю, что при доказательстве формулы Лиувилля-Остроградского определ. Вронского нужно понимать в первом варианте определения?

2) Близкий по существу вопрос. Речь идет о формуле Лиувилля-Остроградского для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

$\det X(t)=\det(X(t_0))\cdot \exp \int_{x_0}^x \operatorname{tr} A(t) dt$

Верно ли я понимаю, что формула Лиувилля -Остроградского не позволяет находить решения, зная только начальные условия и саму систему (про то как она используется для нахождения линейно независимого решения по одному уже известному решению для ДУ II порядка мне понятно), а представляет собой просто некоторое соотношение или она может быть непосредственно использована для построения решения? Но тогда как? Ведь, мы пока не нашли решения системы не можем составить $ \det X(t_0) $?!
3) Верно ли, что если какое-либо решение системы выражается в квадратурах, то и другие линейно-независимые решения выражаются в квадратурах или это не обязательно?

 
 
 
 Re: Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение08.06.2013, 20:21 
Аватара пользователя
Что там за игреки в первом случае? Это нуждается в пояснении. Классически, определитель ВРонского понимается именно в смысле вашего второго определения
rabbit-a в сообщении #734404 писал(а):
(правда, одной!)

где ж там одна функция-то?

 
 
 
 Re: Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение08.06.2013, 23:31 
SpBTimes в сообщении #734460 писал(а):
где ж там одна функция-то?

:) Система одна.
rabbit-a, но в первом случае она тоже одна (во всяком случае, можно и так посмотреть). $(y_1,\ldots,y_n)$. $k$ - это номер координаты вектор-функции. Первый определитель используется для систем ДУ. $y_j$ - решения системы. Второй для уравнений $n$-го порядка.

 
 
 
 Re: Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение09.06.2013, 07:10 
Если линейное уравнение $n$-того порядка свести к системе уравнений первого порядка стандартным способом ($y'=y_1, y_1'=y_2,\ldots, y_{n-1}'=f(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_{n-1})$) и для его $n$ решений записать первый определитель, то он совпадет со вторым определителем для соответствующих $n$ решений исходного уравнения.

 
 
 
 Re: Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение09.06.2013, 10:04 
Аватара пользователя
Да, кажется, понятно. Otta, но тогда выходит что решение системы $n$ ДУ можно записать в виде матрицы размерности $n\times n$решений, а можно в виде вектора (если желаете могу привести пример простенькой системы).

Уважаемый Padawan, очень Вам благодарен! Это все проясняет, действительно, выходит что по-сути это два разных вида одного и того же определения. Первый вопрос полностью ясен.

 
 
 
 Re: Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Сообщение09.06.2013, 10:13 
rabbit-a
Почему же. Решение-то системы - это вектор (функция). Всегда.
А уж из них ($n$ штук) составляется матрица определителя.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group