действительный базис из собственных значений

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #734244 писал(а):

а есть еще такие матрицы $AA^*=A^*A$

Да, такие точно диагонализуемы, даже унитарным преобразованием.

Еще можно посмотреть на характеристический многочлен, и если у него не оказалось кратных корней (это проверяется взятием НОД с его производной), то тоже будет диагонализуема.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #734244 писал(а):

а есть еще такие матрицы $AA^*=A^*A$

Есть, вестимо. А при чём тут вещественность?...

(это я нечаянно глянул на шапку ветки -- и душа моя страданиями человечества уязвленна стала)

[g______d]

ewert в сообщении #734253 писал(а):

Есть, вестимо. А при чём тут вещественность?...

Вещественность — это второе условие; как я писал выше, надо, чтобы матрица коммутировала с оператором сопряжения... Но откуда-то надо еще диагонализуемость брать.

[Oleg Zubelevich]

а еще можно заметить, что множество недиагонализируемых матриц имеет лебегову меру нуль и является множеством первой категории в пространстве всех матриц данного размера.