Дифференциальные формы

[g______d]

Munin в сообщении #734139 писал(а):

В каком смысле "исходное"? Из него можно получить остальные, которые я назвал, или оно в каком-то смысле "исходное" в задаче, обсуждаемой в этой теме? Или "исходное расслоение" - это вообще термин?

Расслоение ростков сечений расслоения $E$ — это и есть само расслоение $E$.

[Munin]

g______d в сообщении #734150 писал(а):

Расслоение ростков сечений расслоения $E$ — это и есть само расслоение $E$

Ого! Круто! А если ростки не сечений, а функций? И ещё, это тождество каким-нибудь "... изоморфизмом" называется, какой-нибудь именной теоремой устанавливается?

[g______d]

Munin в сообщении #734151 писал(а):

Ого! Круто! А если ростки не сечений, а функций? И ещё, это тождество каким-нибудь "... изоморфизмом" называется, какой-нибудь именной теоремой устанавливается?

Функция — это сечение тривиального расслоения, поэтому для них все сохраняется. Утверждение про изоморфизм на самом деле тривиально при правильной интерпретации понятия расслоения ростков; обычно всё-таки рассматриваются пучки ростков. Вот, здесь более подробно можно про все вместе посмотреть

http://ncatlab.org/nlab/show/germ

Моё личное мнение по поводу этих понятий — что ими не всегда хорошо излишне увлекаться, без достаточного количества задач, к ним приводящим. Вот задача про второй дифференциал вполне подходит для части из них. Но, может быть, Oleg Zubelevich пояснит все-таки свое определение, если оно было?

P. S. Раскрыл все свои оффтопики, см. выше сообщение модератора.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $f:M\to N,\quad \dim M=m,\quad \dim N=n$ -- отображение одного многообразия в другое, $df(x):T_xM\to T_{f(x)}N$. Соотвественно отображение $M\ni x\xrightarrow{w} df(x)$ действует из $M$ в многообразие $G$, которое является расслоением с базой $M$ и слоем состоящим из линейных отображений $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$.
Имеем $dw: T_xM\to T_{w(x)}G$.

а зачем Вы стали писать это:

g______d в сообщении #733924 писал(а):

Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства, то второй дифференциал был бы тензором, а он не; достаточно посмотреть на закон преобразования (оттуда растут символы Кристоффеля и т. д.). И вообще, возьмите линейную функцию, у нее гессиан нуль, а перейдите в криволинейные координаты --- сразу не нуль.

я так и не понял

-- Пт июн 07, 2013 21:11:28 --

наверное, правильнее сказать, что $w$-- сечение

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #734186 писал(а):

многообразие $G$, которое является расслоением с базой $M$ и слоем состоящим из линейных отображений $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$

А как выбирается отождествление слоя с $\mathcal L(\mathbb R^m,\mathbb R^n)$?

[Munin]

-- 07.06.2013 23:22:59 --

g______d в сообщении #734183 писал(а):

Вот, здесь более подробно можно про все вместе посмотреть

http://ncatlab.org/nlab/show/germ

Где germ - это росток и есть? Спасибо, отличная табличка!

g______d в сообщении #734183 писал(а):

Моё личное мнение по поводу этих понятий — что ими не всегда хорошо излишне увлекаться, без достаточного количества задач, к ним приводящим.

Ну, я не собираюсь говорить по-птичьи, я собираюсь только устоять на ногах, когда встретится вдруг текст с такими терминами. Спасибо! У меня всё!

(Оффтоп)

P. S. Я ужасно оговорился, читать:

Ну, раз пошла такая пьянка, хотелось бы ещё понять, как соотносятся между собой кривизна расслоения и голономии, но это уже совсем в сторону :-)

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #734196 писал(а):

А как выбирается отождествление слоя с $\mathcal L(\mathbb R^m,\mathbb R^n)$?

ok вернемся (временно) к исходной постановке $f$ -- скалярнозначная функция, $n=1,\quad G=T_*M$ -- кокасательное расслоение. Вопрос снят?

[g______d]

Ладно, наверное, как-то можно. Допустим, функция скалярная. Тогда $df\colon TM\to \mathbb R$, а $d^2 f\colon T(TM)\to \mathbb R$ (мы отождествляем касательное пространство к $\mathbb R$ с $\mathbb R$ во всех точках). Или, что то же самое, $d^2f$ — сечение $T^*(TM)$. Что-то мне здесь не нравится, но не могу понять что...

-- 07.06.2013, 23:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #734221 писал(а):

Вопрос снят?

Я набрал сообщение до того, как прочитал Ваш ответ. Почему снят? Вы просто на него ответили :) (а, или это вопрос про отождествление).