Как решаются алгебраические уравнения любой степени с ...

[PSP]

PSP писал(а):

lofar писал(а):

Пусть $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=0$ общее алгебраическое уравнение степени $n$.
Насколько я понял, Вы хотели бы иметь некоторое явное выражение $W(a_0,\ldots,a_{n-1})$, дающее корень этого уравнения. Причем в $W$ допускается использование любых элементарных и специальных функций, главное, чтобы получилась "замкнутая формула".

На пути решения этой задачи мне видится два препятствия (возможно их больше).

1) Формула корня общего алгебраического уравнения, использующая тэта-функции, не является "замкнутой". Дело в том, что в этой формуле в качестве аргумента тэта-функции используется некая симметричная марица --- матрица периодов гиперэллиптической кривой определяемой исходным уравнением (в книге Мамфорда это $\Omega$). Зная конкретные значения коэффициентов исходного уравнения, можно алгоритмически определить эту матрицу. В месте с тем, общей явной формулы, выражающей эту матрицу через коэффициенты нет.2) Для уравнений 3-й и 4-й степени "замкнутые формулы" для корня существуют. Вместе с тем, даже в этих случаях возникает одна проблема практического характера (о которой часто забывают): простое решение может задаваться исключительно громоздкой формулой. Например, кубическое уравнение $x^3+3x-4=0$ имеет единственный вещественный корень равный $1$. В то же время, формула Кардано в качестве решения предлагает выражение $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ --- поди догадайся, что это $1$!

Да, я хотел бы иметь некоторое явное выражение $W(a_0,\ldots,a_{n-1})$, дающее корень этого уравнения.
А вот это, что общей формулы нет , самое неприятное...Может быть, существуют какие другие способы достижения этой цели, кроме тета - функций и гиперэллиптических интегралов? А если добавить требование к уравнению , чтобы его коэффциенты были такими , чтобы корни были только действительными ? Может , это даст упрощение ?
А громоздкие формулы меня не пугают !

Господа математики!
Вы затратили столько времени и сил, доказывая великую теорему Ферма.
Возможно, эта теорема не доказуема в принципе.
Но задача по аналитическому решению алгебр.уравнений степени выше 4-ой наверняка решаема.Не могли бы Вы счесть делом профессиональной чести решить эту проблему?!
Мне кажется, что путь решения этой проблемы лежит в области эллиптических и гиперэллиптических функциях.
Господа математики, присмотритесь!!

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Господа математики!
Вы затратили столько времени и сил, доказывая великую теорему Ферма.
Возможно, эта теорема не доказуема в принципе.

Что с вами? Вы вроде были достаточно адекватным человеком.

PSP писал(а):

Но задача по аналитическому решению алгебр.уравнений степени выше 4-ой наверняка решаема.

Что значит "аналитическому"? У вас уже есть неявная функция - само уравнение, вот и применяйте к нему методы работы с неявными функциями.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

Господа математики!
Вы затратили столько времени и сил, доказывая великую теорему Ферма.
Возможно, эта теорема не доказуема в принципе.

Что с вами? Вы вроде были достаточно адекватным человеком.

PSP писал(а):

Но задача по аналитическому решению алгебр.уравнений степени выше 4-ой наверняка решаема.

Что значит "аналитическому"? У вас уже есть неявная функция - само уравнение, вот и применяйте к нему методы работы с неявными функциями.

Ну не устраивают меня, как физика,методы работы с неявными функциями!!
Неужели математикам явно нельзя получить решения!!Тут затронута честь профессиональных математиков!! Фактически природа бросила Вам,математикам, вызов, а Вы сдались...Грустно...Эта задача наверняка должна быть легче доказательства великой теоремы Ферма!
Ещё раз повторяю, что мне кажется, что путь решения этой проблемы лежит в области эллиптических и гиперэллиптических функциях.
Например, есть теорема, что две эллиптические функции могут быть связаны, как многочлены n-ой степени.А если эти эллиптические функции будут одинаковы, то мы и получим, что они и есть рещение уравнения n-ой степени.Смотрите Шабат "ТФКП", глава "Эллиптические функции"

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Ну не устраивают меня, как физика,методы работы с неявными функциями!!

В арксинус и арктангенс вы тоже не верите?

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

Ну не устраивают меня, как физика,методы работы с неявными функциями!!

В арксинус и арктангенс вы тоже не верите?

Почему же, верю.Тем более, что это явные функции.

[dmd]

2 PSP

Потрудитесь, пожалуйста, записать корректно условие Вашей задачи в кодах ТеХ-а, четко обозначив каждый символ. Какой $x$ входит в формулу - с точкой или без точки? Что он такое - вектор положения или градиент какой-то? Почему на картинке $K,K_1,K_3$, а в формуле для Мапла только $K1,K2$?

Дальше нужно определиться, поможет ли вообще решение в каких-то спец-функциях. Нужно чтоб кто-то знающий этот предмет ответил. Возможно ли вообще символьное аналитическое решение в спец-функциях? Или это будет скорее алгоритм решения, для которого необходимы численные значения коэффициентов?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

В арксинус и арктангенс вы тоже не верите?

Почему же, верю.Тем более, что это явные функции.

Арксинус - функция, обратная к синусу, то есть задается неявно.

[PSP]

dmd писал(а):

2 PSP

Потрудитесь, пожалуйста, записать корректно условие Вашей задачи в кодах ТеХ-а, четко обозначив каждый символ. Какой $x$ входит в формулу - с точкой или без точки? Что он такое - вектор положения или градиент какой-то? Почему на картинке $K,K_1,K_3$, а в формуле для Мапла только $K1,K2$?

Дальше нужно определиться, поможет ли вообще решение в каких-то спец-функциях. Нужно чтоб кто-то знающий этот предмет ответил. Возможно ли вообще символьное аналитическое решение в спец-функциях? Или это будет скорее алгоритм решения, для которого необходимы численные значения коэффициентов?

Исходное уравнение состояния(гамильтониан) (я его смог упростить, сведя количество констант до 2-х):
(E^2-M^2)((1-P^2)^2+K^2P^4)-K^2P^2=0, где K,M-константы.
Отсюда можно найти E, выраженную через P, продифференцировать по P и тем самым найти $$ \dot{x}.
Дальше нужно найти P выраженную через $$ \dot{x}.Вот тут и возникает уравнение степени выше 4-ой..
Вот оно:
$$(\dot{x} ^2(K^2P^2-M^2((1-P^2)^2+K^2P^4))((1-P^2)^2+K^2P^4)^2-(r^2P^2((2P^3(1+K^2)-P)-((1-P^2)^2+K^2P^4)))^2 =0.
При попытке решить его с помощью Мапла он указал, что это уравнение сводится к решению уравнения 8-й степени.
К сожалению, у меня сейчас нет доступа к Маплу, поэтому проверить это уравнение и ответить на вопрос по формуле Мапла не могу.
Но исходную задачу я описал точно.
Мне кажется, что символьное аналитическое решение в спец-функциях возможно, и я подозреваю(мне кажется, небезосновательно), что тут будут некоторые эллиптические или гиперэллиптические функции...

По моим сведениям, в этой проблеме специалист Шабат Георгий Борисович,д.ф.-м.н.
shabat AT mccme ТОЧКА ru ,из НМУ , но связаться с ним у меня никак не получается...
Если кто знает, как с ним связаться, буду благодарен за помощь!

Есть и другой путь решения - с помошью диф. уравнений -я пытался с помощью Мапла, комп решал его неделю, но не смог...
Вот это уравнение:
$$((\dot{y}x-y)^2+M^2)((1-\dot{y}^2)^2+\dot{y}^4K^2)-K^2\dot{y}^2=0.

Добавлено спустя 32 минуты 21 секунду:

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

В арксинус и арктангенс вы тоже не верите?

Почему же, верю.Тем более, что это явные функции.

Арксинус - функция, обратная к синусу, то есть задается неявно.

????????????????????????

[tolstopuz]

PSP писал(а):

????????????????????????

Помните, как на первом курсе брали производную от арксинуса?

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

????????????????????????

Помните, как на первом курсе брали производную от арксинуса?

Помню, но не вижу тут никакой аналогии...Разжуйте, а то я что-то тупею..

[tolstopuz]

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

????????????????????????

Помните, как на первом курсе брали производную от арксинуса?

Помню, но не вижу тут никакой аналогии...Разжуйте, а то я что-то тупею..

Вот два уравнения:
1.

$$\sin y=x$$

2.

$$(\dot{x} ^2(K^2P^2-M^2((1-P^2)^2+K^2P^4))((1-P^2)^2+K^2P^4)^2-(r^2P^2((2P^3(1+K^2)-P)-((1-P^2)^2+K^2P^4)))^2 = 0$$

Первое из них задает в неявном виде зависимость $y$ от $x$, называемую арксинусом. Этот неявный вид не помешал математикам исследовать свойства арксинуса, посчитать производную, разложить в ряд и так далее. Для этого они не требовали выразить арксинус в каком-то "явном" виде (кстати, а что это означает?).

Чем ваш случай неявной зависимости $P$ от $\dot{x}$ принципиально отличается?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

$$((\dot{y}x-y)^2+M^2)((1-\dot{y}^2)^2+\dot{y}^4K^2)-K^2\dot{y}^2=0.

Если решить его относительно $y$, получаем

$$y=x\dot{y}\pm\sqrt{\frac{K^2\dot{y}^2}{(1-\dot{y}^2)^2+K^2\dot{y}^4}-M^2$$

Это частный случай уравнения Клеро:

$$y=x\dot{y}+g(\dot{y})$$

Оно решается, но в параметрической форме, то есть в виде функций от $t$. Так что если вы захотите выразить $y$ через $x$, уравнение большой степени от $y$ там все равно будет присутствовать

Но зато можно взять взять какие-нибудь значения $K$ и $M$ и нарисовать интегральные кривые (у уравнения Клеро одна нетривиальная интегральная кривая и полный набор касательных к ней, с которых можно в точке касания либо пойти дальше прямо, либо пересесть на кривую и далее, возможно, на другую касательную). Это хоть как-то прояснит ситуацию.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

$$((\dot{y}x-y)^2+M^2)((1-\dot{y}^2)^2+\dot{y}^4K^2)-K^2\dot{y}^2=0.

Если решить его относительно $y$, получаем

$$y=x\dot{y}\pm\sqrt{\frac{K^2\dot{y}^2}{(1-\dot{y}^2)^2+K^2\dot{y}^4}-M^2$$

Это частный случай уравнения Клеро:

$$y=x\dot{y}+g(\dot{y})$$

Оно решается, но в параметрической форме, то есть в виде функций от $t$. Так что если вы захотите выразить $y$ через $x$, уравнение большой степени от $y$ там все равно будет присутствовать

Но зато можно взять взять какие-нибудь значения $K$ и $M$ и нарисовать интегральные кривые (у уравнения Клеро одна нетривиальная интегральная кривая и полный набор касательных к ней, с которых можно в точке касания либо пойти дальше прямо, либо пересесть на кривую и далее, возможно, на другую касательную). Это хоть как-то прояснит ситуацию.

tolstopuz, Большое спасибо! Поставленная мной задача решается параметрически обеими способами!
Ветку можно уничтожать!

[SereJa1020]

PSP писал(а):

Привет!Есть идея!
Давайте обьединимся для того , чтобы понять , как решаются алгебраические уравнения любой степени с помощью тета-функций Зигеля и эллиптических и гиперэллиптических интегралов? Как? Интересно же.. и физ. смысл имеет..
Кто желает?!

А зачем? существуэт же численные методы решения.

[PSP]

SereJa1020 писал(а):

PSP писал(а):

Привет!Есть идея!
Давайте обьединимся для того , чтобы понять , как решаются алгебраические уравнения любой степени с помощью тета-функций Зигеля и эллиптических и гиперэллиптических интегралов? Как? Интересно же.. и физ. смысл имеет..
Кто желает?!

А зачем? существуэт же численные методы решения.

Фактически дело не в том, чтобы решить те или иные конкретные уравнения, а в том, что общие функции, которые могут быть использованы для их решения, имеют такие интересные и важные для физики свойства, что их исследование - очень важная и очень интересная задача..