Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.

[Sofico]

Здравствуйте,

Я повторяю школьную алгебру, но многие вещи не могу понять (даже если я закончила физ-мат)..

Помогите пожалуйста разобраться:

Пратусевич, алгебра 10 кл., стр. 33 утв. 1:

Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.


Доказательство:

Докажем утверждение по индукции.

База индукции. Неравенство $a_m\ge b_m$ верно.
Индукционный переход. Пусть $a_k\ge b_k$. Известно, что $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$. Сложим эти два неравенства. Получим $a_{k+1}\ge b_{k+1}$, что и требовалось доказать.

Вопрос:

1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.
2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?

-- 31.05.2013, 19:26 --

Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge 2$
2) $4-2 \ge 4-3$

Но: 3 меньше 5.

Как доказать, что $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, т.е. что КАЖДЫЙ последующий член последовательности больше, чем предыдущий ?
В доказательстве написано, что это известно, но откуда? Когда я решаю задачи, там тоже нужно что-либо подобное доказать, но как я пойму, что мне "известно", а что нет?

[svv]

Sofico в сообщении #730877 писал(а):

1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.

Неравенства $a\geqslant b$ и $c\geqslant d$ можно складывать, то есть, если они справедливы, то справедливо также $a+c\geqslant b+d$.

"Житейский" смысл этого совсем простой.
Есть две тарелки с яблоками, на левой $a$ яблок, на правой $b$, причем $a\geqslant b$.
На левую добавили ещё $c$, на правую ещё $d$, причем $c\geqslant d$.
Тогда можно точно сказать, что и в результате на левой тарелке будет яблок больше-и-равно правой.

В случае последовательностей та же ситуация, только она повторяется многократно.
$a_m$ и $b_m$ -- это исходные количества яблок.
Потом добавили на левую $a_{m+1}-a_m$, на правую $b_{m+1}-b_m$.
Стало $a_{m+1}$ и $b_{m+1}$.
Потом ещё добавили на левую $a_{m+2}-a_{m+1}$, на правую $b_{m+2}-b_{m+1}$.
Стало $a_{m+2}$ и $b_{m+2}$.
И т. д.

Условие $a_{k+1}-a_k\geqslant b_{k+1}-b_k$ означает, что каждый раз на левую тарелку добавляли не меньше ($\geqslant$) яблок, чем на правую.
Понятно, что при таком раскладе неравенство $a_k\geqslant b_k$ будет сохраняться и дальше.

Sofico в сообщении #730877 писал(а):

2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?

Можно и так. Если знакомы с программированием, считайте, что $k$ и $n$ -- локальные переменные, их можно как угодно называть в пределах тех утверждений, где они используются, потому что области их использования не пересекаются:

Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).

[VAL]

Sofico в сообщении #730877 писал(а):

Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.
[...]
Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge 2$
2) $4-2 \ge 4-3$

Но: 3 меньше 5.

У Вас не выполнено подчеркнутое.

[Sofico]

Спасибо большое за ответы. Прошу прощения, что долго не отвечала: не всегда есть возможность выйти в интернет.

-- 05.06.2013, 13:05 --

svv в сообщении #730902 писал(а):

Sofico в сообщении #730877 писал(а):

1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.

Неравенства $a\geqslant b$ и $c\geqslant d$ можно складывать, то есть, если они справедливы, то справедливо также $a+c\geqslant b+d$.

С этим всё понятно.
С яблоками сложнее, но формулы, написанной выше было достаточно ))

-- 05.06.2013, 13:33 --

VAL в сообщении #730920 писал(а):

Sofico в сообщении #730877 писал(а):

Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.
[...]
Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge 2$
2) $4-2 \ge 4-3$

Но: 3 меньше 5.

У Вас не выполнено подчеркнутое.

Я понимаю, что в примере первая последовательность возрастает быстрее, чем вторая. И мне в принципе понятно, что там написано. Я не понимаю сам алгоритм доказательства. Так как в учебнике речь идет о методе доказательства теорем, я хотела бы научиться их доказывать. Но я не могу разобраться, что достаточно для доказательства. В данном примере написано, что "НАМ ИЗВЕСТНО", что если для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ . Но мне кажется, что как раз это и нужно доказать.

Для меня эта фраза звучит так (я утрирую):
Если каждый элемент первой последовательности больше, чем соответствующий элемент второй последовательности, то каждый элемент первой последовательности больше, чем соответствующий элемент второй последовательности.

На яблоках:
У нас в первой корзине больше яблок, чем во второй. Если нам известно, что мы одновременно добавляем яблоки в обе корзины и в первую мы добавляем не меньше, чем во вторую, то в первой яблок будет больше.

Но что мы доказали таким образом? Нам не известно, всегда ли мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

-- 05.06.2013, 13:46 --

2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?[/quote] Можно и так. Если знакомы с программированием, считайте, что $k$ и $n$ -- локальные переменные, их можно как угодно называть в пределах тех утверждений, где они используются, потому что области их использования не пересекаются:

Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).[/quote]

Всё-равно не понятно.
m-натуральное число. k и n - натуральные числа.
$k\ge m$
$n\ge m$

Почему их области использования не пересекаются?

[svv]

Sofico в сообщении #732888 писал(а):

Всё-равно не понятно.
m-натуральное число. k и n - натуральные числа.
$k\ge m$
$n\ge m$
Почему их области использования не пересекаются?

Я тут под "областями действия" имел в виду не множество значений, которые $k$ и $n$ принимают, а чисто программистскую аналогию, "область видимости". Вот это утверждение

svv в сообщении #730902 писал(а):

Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).

рассматривайте как кусочек программы. Область видимости переменной $k$ -- это то, что заключено между синими скобками. Область видимости переменной $n$ -- это то, что заключено между зелёными скобками. Таким образом, каждая из переменных "работает" на своем участке рассуждения, помогает что-то сформулировать, а вне этого участка про неё можно забыть. Так как области видимости не пересекаются, двусмысленности обозначения нигде не возникает, что и позволяет в Вашем случае использовать одно и то же имя.

Пример. Скажем, где-то написано:

Цитата:

Пусть для некоторого $x>0$ выполняется $f(x)>0$.
Пусть также для некоторого $x<0$ выполняется $f(x)<0$.

Появляется кто-то и говорит:
— А я не понимаю, как это: $x>0$ и в то же время $x<0$.
Ответ: область видимости первого $x$ -- первая фраза, вне этой фразы о нём можно забыть. Область видимости второго $x$ -- вторая фраза. Области видимости не пересекаются, что и позволяет использовать для переменных одно имя $x$.

[Sofico]

Цитата:

Появляется кто-то и говорит:
— А я не понимаю, как это: $x>0$ и в то же время $x<0$.
Ответ: область видимости первого $x$ -- первая фраза, вне этой фразы о нём можно забыть. Область видимости второго $x$ -- вторая фраза. Области видимости не пересекаются, что и позволяет использовать для переменных одно имя $x$.

не хочу занудствовать, но раз уж пошла такая петрушка...
в примере с "x" $x>0$ и $x<0$
а в моём примере обе переменные \ge m$

-- 07.06.2013, 15:44 --

и $a_k$ и $a_n$ вполне себе пересекаются

[svv]

Взаимопонимание нулевое.

[Otta]

Sofico в сообщении #732888 писал(а):

На яблоках:
У нас в первой корзине больше яблок, чем во второй. Если нам известно, что мы одновременно добавляем яблоки в обе корзины и в первую мы добавляем не меньше, чем во вторую, то в первой яблок будет больше.

Но что мы доказали таким образом? Нам не известно, всегда ли мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

Почему? Именно это нам и известно. Каждый раз мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

[Sofico]

В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$,
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ,
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

[Otta]

Sofico в сообщении #734018 писал(а):

В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если ...
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если ...
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

Ни в чем. Только обязательно при всех $k\ge m$.

[Sofico]

svv в сообщении #734013 писал(а):

Взаимопонимание нулевое.

Женщина... что с меня взять..

-- 07.06.2013, 16:03 --

Otta в сообщении #734021 писал(а):

Sofico в сообщении #734018 писал(а):

В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если ...
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если ...
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

Ни в чем. Только обязательно при всех $k\ge m$.

Зачем тогда вводить еще одну переменную?

[Otta]

Sofico
Я адаптирую пример svv для Вас. Думаю, он не будет возражать.
Пусть при всех $x>0\; f(x)\le 1$. Пусть так же известно, что при всех $y>0 \; f(y)\ge 1$. Что можно сказать о функции $f$ для положительных значений аргумента?

-- 07.06.2013, 17:10 --

Sofico в сообщении #734022 писал(а):

Зачем тогда вводить еще одну переменную?

Это не имеет значения. Могли вводить, могли и не вводить. Вводят как раз обычно для облегчения понимания. Например, что это $k$ никакого отношения к предыдущему не имеет. Просто потому хотя бы, что оно - любое.

[svv]

Так Вы поняли, что в Вашем случае использовать ту же переменную $k$ вместо $n$ можно? Я и пытался объяснить, почему можно.

(Оффтоп)

Цитата:

Женщина... что с меня взять..

Меня, кстати, в этой жизни окружают женщины в основном умные, за некоторыми я и не угонюсь.

[Sofico]

Цитата:

(Оффтоп)

Цитата:

Женщина... что с меня взять..

Меня, кстати, в этой жизни окружают женщины в основном умные, за некоторыми я и не угонюсь.

Это была шутка, чтобы разрядить обстановку. Я не очень уютно себя чувствую, когда понимание нулевое. Мои возражения - это всего-лишь мой способ разобраться.
И я действительно пытаюсь понять ваш пример с переменными, но видимо я недостаточно знакома с программированием.

svv в сообщении #734027 писал(а):

Так Вы поняли, что в Вашем случае использовать ту же переменную $k$ вместо $n$ можно? Я и пытался объяснить, почему можно.

Я исходила из того, что составители учебника не будут вводить лишнюю переменную без крайней необходимости, поэтому пыталась понять, в чем "некорректность" использования одной и той же переменной.
Для меня это принципиальный вопрос, так как ошибки в доказательствах чаще всего возникают именно из-за неверной области определения или ошибок в логических рассуждениях.

[Otta]

Sofico в сообщении #734039 писал(а):

Я исходила из того, что составители учебника не будут вводить лишнюю переменную без крайней необходимости, поэтому пыталась понять, в чем "некорректность" использования одной и той же переменной.

Вы же школьный учебник читаете. Там, кроме здравого минимализма в наборе переменных, большую роль играют т.н. методические соображения.