Единственный собственный вектор

[Otta]

Xaositect в сообщении #732545 писал(а):

А это оно же, только поле.

Ага, ну я так и поняла. Спасибо.

[ewert]

Otta в сообщении #732542 писал(а):

я привыкла, что в таких случаях пишут о размерности соотв. подпространства,

Дело вкуса; но если быть честным, то в таком случае пришлось бы сформулировать вопрос так: "Придумать матрицу оператора, имеющего только одно собственное подпространство, притом единичной размерности", что звучит совершенно чудовищно. Альтернатива: "Придумать матрицу оператора, имеющего только одно собственное число, причём геометрическая кратность этого числа равна единице" -- не многим эстетичнее.

[kalbasa]

ИСН в сообщении #732502 писал(а):

Ниасилил, много букв. Сколько собственных векторов у матрицы $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$?

Все вида $(k, 0)$. То есть бесконечно много.

Nemiroff в сообщении #732515 писал(а):

Даже это уже неправда.

Если можно, приведите контрпример.

Nemiroff в сообщении #732517 писал(а):

А может, нулевой нужно?

Нулевой по определению несобственный.

Otta в сообщении #732528 писал(а):

Ну, положим, Вы его нашли. Тот самый, единственный.
Возьмите любой коллинеарный к нему. Ясно, что он тоже собственный, соответствующий тому же собственному значению.

И что же теперь делать?

Вот это уже похоже на правду. Т.к. $Ax = \lambda x$, получается, что их либо бесконечно много, либо ни одного.

ewert в сообщении #732537 писал(а):

Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

Этого нигде не написано. Было бы написано, я бы не спрашивал.

[ewert]

kalbasa в сообщении #732553 писал(а):

Этого нигде не написано.

Это подразумевается. Если бы речь шла о двух векторах, то наиболее разумной формулировкой было бы "... имеющего ровно два линейно независимых собственных вектора". Говорить же об ровно одном линейно независимом векторе как-то нехорошо (хотя формально и можно), и потому слова о независимости просто опускаются.

[Xaositect]

ewert в сообщении #732563 писал(а):

Это подразумевается. Если бы речь шла о двух векторах, то наиболее разумной формулировкой было бы "... имеющего ровно два линейно независимых собственных вектора". Говорить же об ровно одном линейно независимом векторе как-то нехорошо (хотя формально и можно), и потому слова о независимости просто опускаются.

ewert, не путайте человека. Если преподаватель написал не то, что хотел написать, то это проблемы преподавателя.

[kalbasa]

ewert в сообщении #732563 писал(а):

Это подразумевается. Если бы речь шла о двух векторах, то наиболее разумной формулировкой было бы "... имеющего ровно два линейно независимых собственных вектора". Говорить же об ровно одном линейно независимом векторе как-то нехорошо (хотя формально и можно), и потому слова о независимости просто опускаются.

Не подумал об этом. В любом случае было бы намного понятнее, если бы было написано "с точностью до ...".

[ewert]

Xaositect в сообщении #732566 писал(а):

не путайте человека. Если преподаватель написал не то, что хотел написать, то это проблемы преподавателя.

Нет. То, что количество собственных векторов не может быть конечным в стандартных полях -- это общее место. У человека же путаница в первую очередь в другом: он явно не понимает, какое отношение спектр имеет к треугольности матриц.

[Xaositect]

ewert в сообщении #732576 писал(а):

Нет. То, что количество собственных векторов не может быть конечным в стандартных полях -- это общее место. У человека же путаница в первую очередь в другом: он явно не понимает, какое отношение спектр имеет к треугольности матриц.

Это общее место тоже надо осознать, вполне пойдет в качестве вопроса на первом зачете. Путаница по поводу треугольности - это другая проблема.

[Nemiroff]

kalbasa в сообщении #732553 писал(а):

Если можно, приведите контрпример.

Некоторые многочлены не имеют достаточного количества вещественных корней.

[kalbasa]

С общим местом вроде как понятно.

Nemiroff в сообщении #732643 писал(а):

Некоторые многочлены не имеют достаточного количества вещественных корней.

Спасибо, теперь понял.

А есть пример матрицы линейного оператора, такой что ее характеристический многочлен вида $(a - \lambda)^n$, а матрица не треугольная?

[provincialka]

kalbasa в сообщении #732656 писал(а):

А есть пример матрицы линейного оператора, такой что ее характеристический многочлен вида $(a - \lambda)^n$, а матрица не треугольная?

Почему нет? Сделайте подобное преобразование, при этом характеристический многочлен не изменится.

[kalbasa]

provincialka в сообщении #732722 писал(а):

Почему нет? Сделайте подобное преобразование, при этом характеристический многочлен не изменится.

Пардон. Я имел в виду не подобна треугольной. Иначе, содержащая менее $n(n-1)/2$ нулей.

[g______d]

Так

kalbasa в сообщении #732728 писал(а):

не подобна треугольной.

или

kalbasa в сообщении #732728 писал(а):

содержащая менее $n(n-1)/2$ нулей.

?

[ewert]

kalbasa в сообщении #732728 писал(а):

Я имел в виду не подобна треугольной.

В комплексном пространстве любая матрица подобна треугольной. В вещественном -- естественно, не любая (например, просто матрица поворота).

[bot]

ewert в сообщении #732537 писал(а):

Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя"

Это не для всех естественно. Естественно, что именно это умолчание я и имел в виду - про $\mathbb Z_2$ в голову не пришло.