Формальный вопрос по топологии

[Someone]

Bod писал(а):

Цитата:

Регулярное пространство, одновременно являющееся T1 -пространством, называется T3 -пространством.

Данная мною формулировка взята из книги Колмогорова - Элементы теории функций и функционального анализа:

Цитата:

Пространства удовлетворяющие обеим аксиомам T1 и T3 называются регулярными.

В то же время в книге Куратовского "Топология" дается определение схожее с вашим, что меня несколько удивляет - и какая из формулировок является общепринятой?

Тут действительно есть разночтения: в разной литературе условия $T_3$ и регулярности (аналогично - $T_{3\frac 12}$ и полной регулярности, $T_4$ и нормальности) определяются по-разному. Одни авторы предпочитают, чтобы аксиомы отделимости $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_{3\frac 12}$, $T_4$ последовательно усиливали друг друга, и потому включают условие $T_1$ в $T_3$, $T_{3\frac 12}$, $T_4$, другие же этого не делают, и включают $T_1$ в условия регулярности, полной регулярности и нормальности. Второй вариант как раз характерен для советской математической школы.

[Bod]

Someone, и какая на текущий момент постановка считается общепринятой? или до сих пор имеется такое несогласование?

[Someone]

Боюсь, что по-прежнему нужно считаться с обоими вариантами.

[AlexDem]

Someone писал(а):

Боюсь, что по-прежнему нужно считаться с обоими вариантами.

Бывает же . Это значит фразу:

Bod писал(а):

Конечно не достаточно, это необходимые и достаточные условия что бы пространство было T3, речи о регулярности пока не идет.

- нужно перевести как:

Цитата:

Конечно не достаточно, это необходимые и достаточные условия что бы пространство было регулярным, речи о $T_3$ пока не идет.

А Энгелькинг вообще отождествляет оба понятия.

Есть и другие несоответствия: так, отличаются и определения предельной точки - у Колмогорова это точка прикосновения (а предельная точка - лишь частный случай). Или у Бурбаки:

Цитата:

Всякое локально компактное пространство есть регулярное пространство.

А у Келли:

Цитата:

Каждое хаусдорфово локально бикомпактное пространство регулярно.

Нужно смотреть определения в каждом случае...

Bod писал(а):

(замыкание должно содержаться в S что бы дополнение к нему будучи открытым множеством являлось окрестностью M и в то же время не пересекалось с S1).

Здесь оговорка "и в то же время не пересекалось с S1" - по-моему лишняя, т.к. дополнение с самим множеством безусловно не пересекаются. Остальное на мой взгляд верно, а доказательство Энгелькинга посложнее из-за того, что ведётся для множеств $V$ из предбазы (хотя не ясно, какие преимущества это даёт).

Добавлено спустя 32 минуты 31 секунду:

Да, ещё - если $T_1$ справедлива, то регулярность (или $T_3$ по Колмогорову) - уже довольно сильное условие для некоторых пространств, чтобы иметь возможность ввести полноценную метрику:

Энгелькинг, с.79 писал(а):

Любое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально.

Колмогоров, с.98 писал(а):

Для того, чтобы топологическое пространство со счётной базой было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально.

[Bod]

Цитата:

так, отличаются и определения предельной точки - у Колмогорова это точка прикосновения

У Колмогорова (вроде бы) каждая точка прикосновения в метрических пространствах является предельной точкой, не в метрических пространствах точка прикосновения не обязана быть предельной.

Цитата:

Здесь оговорка "и в то же время не пересекалось с S1" - по-моему лишняя

согласен что лишнее, но это для большей ясности

[Someone]

Всяких несоответствий в терминологии и обозначениях, покопавшись, можно найти ещё очень много.
Ещё один такой пример. Одни называют компактом хаусдорфово пространство, из любого покрытия которого открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Другие то же самое называют бикомпактом, а компактом называют бикомпакт со счётной базой. Разнобой в терминологии сохраняется много десятилетий, несмотря на важность и широкую распространённость этого понятия.

[AlexDem]

AlexDem писал(а):

Да, ещё - если $T_1$ справедлива, то регулярность (или $T_3$ по Колмогорову) - уже довольно сильное условие для некоторых пространств, чтобы иметь возможность ввести полноценную метрику

В принципе, есть ещё более сильное утверждение. У Келли на с.154 доказывается лемма: "Каждое регулярное линделёфово пространство нормально". Откуда, в частности, делается вывод о том, что "регулярное топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности, непременно нормально" (так как по теореме там же на с.75 "В произвольном открытом покрытии пространства со счётной базой есть счётное подпокрытие"). То есть для пространств со счётной базой аксиома $T_1$ оказывается ни при чём. Нарушение $T_2$ (и тем более - $T_1$) приводит к тому, что последовательность в таком пространстве может сходиться к более чем одной точке одновременно (Келли с.98) - довольно необычно...

Добавлено спустя 36 минут 11 секунд:

Хотя, если пространство является $T_1$-пространством (все одноточечные множества - замкнуты), то в нерегулярном пространстве $T_2$ может оказаться нарушена, поскольку регулярность подразумевает, что "любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности" (а если оно не является $T_1$-пространством, то пространством $T_2$ - и подавно).

Допустим, что возможна ситуация, когда все одноточечные множества имеют непересекающиеся окрестности, а какая-то точка $x$ и не содержащее её замкнутое множество $F$ из более, чем одной точки - нет. По условию - каждая точка этого множества имеет окрестность, не пересекающуюся с окрестностью точки $x$. Но объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество, а объединение окрестностей всех точек множества $F$ даст нам окрестность этого множества. Причём эта окрестность не будет пересекать окрестность точки $x$, т.к. ни одна из окрестностей, входящих в объединение, её не пересекала. Следовательно, предположение неверно, и какая-то из точек множества $F$ не имеет окрестности, не пересекающейся с окрестностью точки $x$.

Получается, что нерегулярное пространство никогда не может быть $T_2$-пространством?

Добавлено спустя 2 часа 1 минуту 2 секунды:

У Энгелькинга на с.72 приводится пример нерегулярного хаусдорфова пространства. Получается, что доказательство в чём-то неверно...

[AlexDem]

Да, понял кажется, почему моё доказательство неверно - в нём предполагается, что окрестность точки $x$ фиксирована, на самом же деле одна её окрестность может не пересекаться с окрестностью одной из точек $F$, другая - с другой. А такой, чтобы не пересекалась со всеми сразу, может и не найтись - для этого потребовалось бы в общем случае бесконечное пересечение всех таких окрестностей точки $x$ (по числу точек в $F$), а оно уже может и не быть открытым множеством.

[Bod]

AlexDem писал(а):

AlexDem писал(а):

Да, ещё - если $T_1$ справедлива, то регулярность (или $T_3$ по Колмогорову) - уже довольно сильное условие для некоторых пространств, чтобы иметь возможность ввести полноценную метрику

В принципе, есть ещё более сильное утверждение. У Келли на с.154 доказывается лемма: "Каждое регулярное линделёфово пространство нормально". Откуда, в частности, делается вывод о том, что "регулярное топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности, непременно нормально" (так как по теореме там же на с.75 "В произвольном открытом покрытии пространства со счётной базой есть счётное подпокрытие"). То есть для пространств со счётной базой аксиома $T_1$ оказывается ни при чём. Нарушение $T_2$ (и тем более - $T_1$) приводит к тому, что последовательность в таком пространстве может сходиться к более чем одной точке одновременно (Келли с.98) - довольно необычно...

Добавлено спустя 36 минут 11 секунд:

Хотя, если пространство является $T_1$-пространством (все одноточечные множества - замкнуты), то в нерегулярном пространстве $T_2$ может оказаться нарушена, поскольку регулярность подразумевает, что "любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности" (а если оно не является $T_1$-пространством, то пространством $T_2$ - и подавно).

Допустим, что возможна ситуация, когда все одноточечные множества имеют непересекающиеся окрестности, а какая-то точка $x$ и не содержащее её замкнутое множество $F$ из более, чем одной точки - нет. По условию - каждая точка этого множества имеет окрестность, не пересекающуюся с окрестностью точки $x$. Но объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество, а объединение окрестностей всех точек множества $F$ даст нам окрестность этого множества. Причём эта окрестность не будет пересекать окрестность точки $x$, т.к. ни одна из окрестностей, входящих в объединение, её не пересекала. Следовательно, предположение неверно, и какая-то из точек множества $F$ не имеет окрестности, не пересекающейся с окрестностью точки $x$.

Получается, что нерегулярное пространство никогда не может быть $T_2$-пространством?

Добавлено спустя 2 часа 1 минуту 2 секунды:

У Энгелькинга на с.72 приводится пример нерегулярного хаусдорфова пространства. Получается, что доказательство в чём-то неверно...

Я недавно сделал такие же ошибочные рассуждения . Кстати обратите внимание что эти рассуждения вроде бы будут верны в случае когда мы будем рассматривать компактное пространство

[AlexDem]

Bod писал(а):

Кстати обратите внимание что эти рассуждения вроде бы будут верны в случае когда мы будем рассматривать компактное пространство

Обязательно будут верны, поскольку "Каждое хаусдорфово локально [би]компактное пространство регулярно" (Келли, с.198. Я лучше буду везде опускать приставку [би], чтобы не путаться - у Энгелькинга "локально компактное" соответствует "локально бикомпактному" у Келли). То есть - если пространство не регулярно, то оно либо не локально компактно, либо не хаусдорфово. Интересно, к чему приведёт нарушение $T_1$?.. В материалах, что как-то посоветовал Someone, $T_1$ используется, но её необходимость не доказывается.

Прямое доказательство для компактного пространства с учётом конечности покрытия строится просто (но не сразу дошло ): на этапе, когда мы построили окрестность $F$, не пересекающуюся с $x$, мы замечаем, что $F$ - замкнутое множество, поэтому является компактным подпространством (и любое его открытое покрытие будет содержать конечное подпокрытие). Поэтому построенная окрестность множества $F$ тоже будет содержать конечное подпокрытие. Дальше - ясно: берём конечное пересечение окрестностей $x$, не пересекающихся с множествами из покрытия, и получаем окрестность, не пересекающуюся с окрестностью $F$.

Локально компактное - это не обязательно компактное пространство. Прямая или плоскость - локально компактны. Локально компактные пространства вроде не рассматриваются у Колмогорова, их определение таково:

Келли, с.197 писал(а):

Топологическое пространство $X$ называется локально компактным тогда и только тогда, когда у каждой его точки есть хотя бы одна открытая окрестность, замыкание которой представляет собой компактное подпространство пространства $X$. Компактное пространство автоматически локально компактно.

Келли, с.183 писал(а):

Топологическое пространство называется компактным в том и только в том случае, когда из каждого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

С покрытиями хотелось бы подразобраться... Что-то не совсем понятен точный смысл конечности покрытия компактных пространств. С одной стороны, это не метрическая характеристика, так как, например, любое тихоновское пространство обладает компактификацией (Энгелькинг, с.257), то есть вложимо в компакт. Прямую можно компактифицировать в отрезок [0;1], если гомеоморфно отобразить её в интервал (0; 1) и взять замыкание (если я всё верно понял).

С другой стороны, по-моему, было бы корректно рассмотреть окружность при $r \to \infty$, то есть гомеоморфно растянуть её до бесконечности (ведь метрические характеристики топология не ограничивает), раз уж ограниченный открытый интервал способен гомеоморфно отобразиться в прямую. Но при этом окружность перестаёт быть компактной, т.к. уже не может быть покрыта конечным множеством произвольных интервалов (хотя не уверен насчёт пустого пересечения системы замкнутых множеств). А ведь подразумевался гомеоморфизм...

Кстати, что-то не сумел найти или придумать пример - какая центрированная система замкнутых множеств в ограниченном открытом интервале и на прямой имеет пустое пересечение? Это необходимо, чтобы они не были компактными пространствами (Келли, с.184).

Насчёт метрических характеристик заодно нашёл интересную вещь - оказывается, полнота не является топологическим свойством:

Куратовский, т.I, с.415 писал(а):

Метрическое пространство $X$ назовем полным, если любая его фундаментальная последовательность является сходящейся <...>.
Замечание. Понятие полного пространства не является топологическим понятием: открытый интервал 0 < x < 1 не является полным пространством, тогда как множество всех действительных чисел, гомеоморфное этому интервалу, полно (в силу классической теоремы об эквивалентности условия Коши сходимости последовательности действительных чисел).
Мы будем различать понятия полного пространства в метрическом смысле (которое было только что определено) и полного пространства в топологическом смысле, а именно, пространства, гомеоморфного некоторому полному пространству в метрическом смысле.

У Келли на с.184 (и с.187) доказываются теоремы о компактных пространствах (в них любая последовательность имеет предельную точку) и на с.277 есть небольшой обзор по проблеме исследования топологической полноты. Ответа на вопрос - будут ли произвольные локально компактные пространства полными, я не нашёл (Келли на с.277 говорит о полноте паракомпактных пространств (с.212), но требует для них регулярности).

[AlexDem]

Bod писал(а):

Кстати обратите внимание что эти рассуждения вроде бы будут верны в случае когда мы будем рассматривать компактное пространство

И ещё - в доказательстве неявно используется предельный переход, при котором предел последовательности пересечения открытых множеств не существует (то есть не является открытым множеством). Как выяснилось, такое поведение пределов не является единственно возможным, поэтому здесь тоже ещё есть над чем подумать...

[AlexDem]

Некоторые уточнения...

AlexDem писал(а):

В материалах, что как-то посоветовал Someone, $T_1$ используется, но её необходимость не доказывается.

Вообще, необходимости $T_1$ для введения некоторой "неполноценной" метрической структуры нет - если не симметрику, то уж праметрику на связных пространствах ввести можно всегда. Если посмотреть на аксиомы метрики, ясно, что двух аксиом, оставшихся после нарушения аксиомы треугольника в случае нерегулярного пространства, - $\rho(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ и $\rho(x, y) = \rho(y, x)$ - уже недостаточно для сколь-либо серьёзных ограничений - первая из них, по-моему, необходима для $T_1$-пространств, но уже для $T_0$ обе нарушаются. Хотя, если топологическое пространство позволяет ввести структуру некоторой топологической группы (такой, что каждая точка пространства будет однозначно соответствовать элементу этой группы), то оно сразу будет являться $T_2$ пространством, если является хотя бы $T_0$ пространством (Келли, с.146).

AlexDem писал(а):

Ответа на вопрос - будут ли произвольные локально компактные пространства полными, я не нашёл

По утверждению Келли (с.234, 254) направленность Коши определяется и меет смысл только в равномерных пространствах (Келли с.233, Бурбаки "Общая топология. Использование вещественных чисел. Функциональные пространства" с.272). То есть не всякая сходящаяся направленность является направленностью Коши. Между тем понятие топологической полноты определяется посредством равномерности и направленности Коши (Келли с.276, Энгелькинг с.657). Но далеко не все пространства являются равномерными, в частности, никакое нерегулярное пространство не равномерно (Келли с.252). И тем не менее, по всей видимости, можно определить "полноту" неравномерных пространств - например, в компактных пространствах все вообще направленности имеют точку прикосновения.

AlexDem писал(а):

Что-то не совсем понятен точный смысл конечности покрытия компактных пространств.

Ситуацию немного прояснили опять же Бурбаки "Общая топология. Основные структуры" с.124. В отличие от остальных авторов, которых я читал, бурбаки изначально определяют (квази)компактное пространство как такое, в котором каждый фильтр имеет хотя бы одну точку прикосновения (аксиома C). А остальное уже выводят из данного утверждения - в том числе и конечность покрытия. Или эквивалентно - чтобы пересечение семейства замкнутых множеств вело себя так же, как пересечение конечного подсемейства:

Бурбаки, Структуры, с.125 писал(а):

(C'') Всякое семейство замкнутых множеств в $X$, пересечение которого пусто, содержит конечное подсемейство с пустым пересечением.
В самом деле, пусть $F$ — семейство замкнутых множеств в $X$, пересечение которого пусто; если бы пересечение каждого конечного подсемейства из $F$ было не пусто, то $F$ порождало бы фильтр (...), который согласно (C) имел бы точку прикосновения; но эта точка принадлежала бы всем множествам из $F$ в силу их замкнутости, а это противоречит предположению.

AlexDem писал(а):

какая центрированная система замкнутых множеств в ограниченном открытом интервале и на прямой имеет пустое пересечение?

Пример нашёлся в Гелбаум "Контрпримеры в анализе" с.200. Не уверен пока, будет ли пустота пересечения семейства замкнутых множеств зависеть от свойств пределов, но по моему мнению было бы логично изучать свойства пространтсва "изнутри", исходя только из свойств самого пространства. А это вроде как подразумевает, что и пределы нужно использовать соответствующим образом. Но здесь может возникнуть другая проблема - будет ли соответствовать "внешняя" топология пространства как семейство множеств его "внутренней" топологии, полученной с использованием соответствующих пределов... Вроде как просится использование борелевских множеств (Энгелькинг с.55) или тел (Бурбаки "Общая топология. Использование вещественных чисел. Функциональные пространства" с.134) как структур, допускающих счётные операции, но не уверен, что есть хоть какая-то доступная литература по этому поводу. Впрочем, может здесь я уже начинаю городить огород - ещё не определился