2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 19:41 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}-2\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.

Хочется решить графически в плоскости $Oxa$, но во втором модуле нет зависимости между этими переменными.

Можно ли считать, что $x^2-4x\geqslant0$ в силу того, что $x \in [0;1]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 20:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. :-) Но тут…

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
NeRRR в сообщении #731708 писал(а):
Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.


Я не знаю, что это за метод, но подозреваю, что это цепочка таких преобразований:

$$\frac{|f|}{|g|} \leqslant 1  \Rightarrow |f| \leqslant |g| \Leftrightarrow f^2  \leqslant g^2  \Leftrightarrow (f-g)(f+g)\leqslant 0$$

В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 22:24 
Аватара пользователя


05/05/11
33
arseniiv в сообщении #731727 писал(а):
$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. :-) Но тут…

Ой, в смысле, неположителен)
спасибо))

-- Вс июн 02, 2013 23:31:53 --

Цитата:
В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.


в условии задачи допущена ошибка:
вместо неравенства $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$
должно быть: $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)} - 2\right| \leqslant1$

Спасибо за внимательность)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Сегодня, наверное, уже поздно писать решение. Пофоруиам гуляют несколько аналогичных задач. Я бы решила задачу графически. Получаем, что $1\le\frac{x^2-6x+a}{a-2x}\le3$ , график дробной функции состоит из двух ветвей. Значит, отрезок $[0;1]$ не должен содержать точку разрыва. Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 10:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
provincialka, это все на любителя, конечно. При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 10:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #731878 писал(а):
Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 15:02 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Otta в сообщении #731883 писал(а):
При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.


да, так и я в итоге решила)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ewert в сообщении #731890 писал(а):
Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

возможно, я не проверяла для этого варианта.
Их много похожих бродит по форумам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group