2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 19:41 
Аватара пользователя
Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}-2\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.

Хочется решить графически в плоскости $Oxa$, но во втором модуле нет зависимости между этими переменными.

Можно ли считать, что $x^2-4x\geqslant0$ в силу того, что $x \in [0;1]$?

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 20:05 
$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. :-) Но тут…

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 20:17 
Аватара пользователя
NeRRR в сообщении #731708 писал(а):
Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.


Я не знаю, что это за метод, но подозреваю, что это цепочка таких преобразований:

$$\frac{|f|}{|g|} \leqslant 1  \Rightarrow |f| \leqslant |g| \Leftrightarrow f^2  \leqslant g^2  \Leftrightarrow (f-g)(f+g)\leqslant 0$$

В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение02.06.2013, 22:24 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #731727 писал(а):
$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. :-) Но тут…

Ой, в смысле, неположителен)
спасибо))

-- Вс июн 02, 2013 23:31:53 --

Цитата:
В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.


в условии задачи допущена ошибка:
вместо неравенства $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$
должно быть: $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)} - 2\right| \leqslant1$

Спасибо за внимательность)

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 09:40 
Аватара пользователя
Сегодня, наверное, уже поздно писать решение. Пофоруиам гуляют несколько аналогичных задач. Я бы решила задачу графически. Получаем, что $1\le\frac{x^2-6x+a}{a-2x}\le3$ , график дробной функции состоит из двух ветвей. Значит, отрезок $[0;1]$ не должен содержать точку разрыва. Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 10:05 
provincialka, это все на любителя, конечно. При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 10:40 
provincialka в сообщении #731878 писал(а):
Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 15:02 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #731883 писал(а):
При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.


да, так и я в итоге решила)

 
 
 
 Re: Задача С5 из ЕГЭ, модуль
Сообщение03.06.2013, 20:35 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #731890 писал(а):
Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

возможно, я не проверяла для этого варианта.
Их много похожих бродит по форумам.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group