Задача С5 из ЕГЭ, модуль

[NeRRR]

Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}-2\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.

Хочется решить графически в плоскости $Oxa$, но во втором модуле нет зависимости между этими переменными.

Можно ли считать, что $x^2-4x\geqslant0$ в силу того, что $x \in [0;1]$?

[arseniiv]

$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. Но тут…

[Legioner93]

NeRRR в сообщении #731708 писал(а):

Задача:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$ справедливо при всех значениях $x$ из отрезка $[0;1]$.

С помощью метода рационализации я перешла к неравенству $(x^2-2a)(x^2-4x) \leqslant0$.

Я не знаю, что это за метод, но подозреваю, что это цепочка таких преобразований:

$$\frac{|f|}{|g|} \leqslant 1 \Rightarrow |f| \leqslant |g| \Leftrightarrow f^2 \leqslant g^2 \Leftrightarrow (f-g)(f+g)\leqslant 0$$

В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.

[NeRRR]

arseniiv в сообщении #731727 писал(а):

$0{,}01 - 0{,}4\geqslant0$? А $1-4$ и того меньше. Где-то там в далёких $x$-положительных краях $x^2 - 4x$, действительно, неотрицателен, и даже везде не правее нуля. Но тут…

Ой, в смысле, неположителен)
спасибо))

-- Вс июн 02, 2013 23:31:53 --

Цитата:

В таком случае получается $(x^2-8x+2a)(x^2 - 4x) \leqslant 0$
А у вас первая скобка другая.

в условии задачи допущена ошибка:
вместо неравенства $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)}\right| \leqslant1$
должно быть: $\left|\frac{(x^2-6x+a)}{(a-2x)} - 2\right| \leqslant1$

Спасибо за внимательность)

[provincialka]

Сегодня, наверное, уже поздно писать решение. Пофоруиам гуляют несколько аналогичных задач. Я бы решила задачу графически. Получаем, что $1\le\frac{x^2-6x+a}{a-2x}\le3$ , график дробной функции состоит из двух ветвей. Значит, отрезок $[0;1]$ не должен содержать точку разрыва. Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

[Otta]

provincialka, это все на любителя, конечно. При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.

[ewert]

provincialka в сообщении #731878 писал(а):

Проверку двойного неравенства достаточно произвести для концов отрезка в силу монотонности ветвей.

Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

[NeRRR]

Otta в сообщении #731883 писал(а):

При решении в плоскости $(a,x)$ в этом случае, да еще когда неравенство доведено до такой кондиции, ответ получается сразу же.

да, так и я в итоге решила)

[provincialka]

ewert в сообщении #731890 писал(а):

Они не обязательно монотонны. Правда, они выпуклы, и на этом действительно можно было бы сыграть.

возможно, я не проверяла для этого варианта.
Их много похожих бродит по форумам.