Помогите с задачкой на отображения

[Mannimarco]

Есть область:
$\{|z|<1; |z-1-i|>1\}$
Нужно отобразить на верхнюю полуплоскость.
Я попытался используя дробно-линейное отображение оттянуть единицу в ноль, а $i$ - в бесконечность (и наоборот)
$w=\frac{z-1}{z-i}$ или $w=\frac{z-i}{z-1}$
Но что-то это у меня не получилось. Подставлял точки - вроде должны получиться прямые или окружности, но, видимо, что-то я делаю не так.
Подскажите, пожалуйста, что делать?

[ewert]

Инвертируйте сначала относительно $z=1$ или относительно $z=i$ -- получится четверть плоскости, дальше очевидно.

[Otta]

Отображение нормальное (любое из них). В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно. Что Вы делаете дальше и что получается?

[Mannimarco]

ewert в сообщении #731621 писал(а):

Инвертируйте сначала относительно $z=1$ или относительно $z=i$ -- получится четверть плоскости, дальше очевидно.

Да, дальше действительно очевидно Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1. И каким образом окружности перейдут в оси. Можно чуточку больше подробностей?

Otta в сообщении #731625 писал(а):

Отображение нормальное (любое из них). Что Вы делаете дальше и что получается?

Дальше я подставлял в него точки $-1, -i, i+2, 2i+1$ и смотрел во что они переходят. Потом пытался "идти" по окружности $|z|=1$ по часовой стрелке, повернуть в точке i на 90 вправо, итд. Но точки перешли в какие-то "левые", и я не понял, что тут получается.

[Otta]

Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):

Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1

Что значит инвертировать, я Вам ну уж очень по-простому написала.

Otta в сообщении #731625 писал(а):

В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно.

Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):

Дальше я подставлял в него точки -1, -i, i+2, 2i+1 и смотрел во что они переходят. Потом пытался "идти" по окружности |z|=1, повернуть в точке i на 90 вправо, итд. Но точки перешли в какие-то левые, и я не понял, что тут получается.

А что прямая восстанавливается по двум точкам однозначно, Вы никогда раньше не слышали?

[Mannimarco]

Otta в сообщении #731630 писал(а):

А что прямая восстанавливается по двум точкам однозначно, Вы никогда раньше не слышали?

Значит проблема с моей арифметикой. Потому что прямые у меня никак не получались. Тем более осевые.
А насчет того, что получится четверть плоскости - это я понимаю, этого я и добивался, один угол в 90 поместив в 0, а другой в бесконечность. Только вот причем тут инверсия я все равно не понимаю.

Для определенности возьмем $\frac{z-1}{z-i}$. Точка 1 перейдет в 0, -1 в 1-i, а -i в $\frac{1+i}{2}$ Решительно не вижу тут прямой

Otta в сообщении #731630 писал(а):

В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно.

А разве то, что тут две точки пересечения, не имеет значения?

[Otta]

Mannimarco в сообщении #731636 писал(а):

Значит проблема с моей арифметикой. Потому что прямые у меня никак не получались.

Значит, проблема. А осевых прямых Вам никто не обещал. Мало ли какие прямые проходят через начало координат.

Цитата:

А насчет того, что получится четверть плоскости - это я понимаю, этого я и добивался, один угол в 90 поместив в 0, а другой в бесконечность.

Угол 90 не зависит от Ваших стараний. Он сам собой получится, при любом отображении. Дробно-линейные отображения конформны, если это Вам о чем-то говорит.

Цитата:

Только вот причем тут инверсия я все равно не понимаю.

Ни при чем. Вы вполне можете работать со своими отображениями, с любым из них. Просто там счета чуть меньше.

-- 02.06.2013, 19:07 --

Mannimarco в сообщении #731636 писал(а):

А разве то, что тут две точки пересечения, не имеет значения?

Вы хотите услать в бесконечность обе? Не имеет.

[Mannimarco]

Otta в сообщении #731640 писал(а):

Значит, проблема. А осевых прямых Вам никто не обещал. Мало ли какие прямые проходят через начало координат.

Действительно, сейчас в третий раз пересчитал аккуратно - получил прямую.

Otta в сообщении #731640 писал(а):

Угол 90 не зависит от Ваших стараний. Он сам собой получится, при любом отображении. Дробно-линейные отображения конформны, если это Вам о чем-то говорит.

Здесь - да, не зависит, поскольку и между окружностями угол в 90. И да, что такое конформное отображение я знаю

Otta в сообщении #731640 писал(а):

Вы хотите услать в бесконечность обе? Не имеет.

Нет, как я уже писал в первом сообщение, я отправляю одну в 0, другую в бесконечность. А если использовать отображение с единицей в числителе, то оно, хоть и будет проще, потребует потом сдвига, что хоть и не сложно, но все-таки дополнительное действие

В общем, проблема заключалась только в моей арифметике. Всем спасибо

[ewert]

Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):

Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1.

Я всё-таки на всякий случай дополню, вдруг окажется полезным. Инверсия сама по себе -- это просто $w=\frac1z$, и её свойства всем известны. Инверсия "относительно" -- это всего лишь инверсия после соотв. сдвига.