2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:36 
Есть область:
$\{|z|<1; |z-1-i|>1\}$
Нужно отобразить на верхнюю полуплоскость.
Я попытался используя дробно-линейное отображение оттянуть единицу в ноль, а $i$ - в бесконечность (и наоборот)
$w=\frac{z-1}{z-i}$ или $w=\frac{z-i}{z-1}$
Но что-то это у меня не получилось. Подставлял точки - вроде должны получиться прямые или окружности, но, видимо, что-то я делаю не так.
Подскажите, пожалуйста, что делать?

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:40 
Инвертируйте сначала относительно $z=1$ или относительно $z=i$ -- получится четверть плоскости, дальше очевидно.

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:44 
Отображение нормальное (любое из них). В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно. Что Вы делаете дальше и что получается?

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:48 
ewert в сообщении #731621 писал(а):
Инвертируйте сначала относительно $z=1$ или относительно $z=i$ -- получится четверть плоскости, дальше очевидно.


Да, дальше действительно очевидно :-) Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1. И каким образом окружности перейдут в оси. Можно чуточку больше подробностей? :-)

Otta в сообщении #731625 писал(а):
Отображение нормальное (любое из них). Что Вы делаете дальше и что получается?


Дальше я подставлял в него точки $-1, -i, i+2, 2i+1$ и смотрел во что они переходят. Потом пытался "идти" по окружности $|z|=1$ по часовой стрелке, повернуть в точке i на 90 вправо, итд. Но точки перешли в какие-то "левые", и я не понял, что тут получается.

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:51 
Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):
Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1

Что значит инвертировать, я Вам ну уж очень по-простому написала.
Otta в сообщении #731625 писал(а):
В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно.


Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):
Дальше я подставлял в него точки -1, -i, i+2, 2i+1 и смотрел во что они переходят. Потом пытался "идти" по окружности |z|=1, повернуть в точке i на 90 вправо, итд. Но точки перешли в какие-то левые, и я не понял, что тут получается.


:D А что прямая восстанавливается по двум точкам однозначно, Вы никогда раньше не слышали?

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 16:55 
Otta в сообщении #731630 писал(а):
А что прямая восстанавливается по двум точкам однозначно, Вы никогда раньше не слышали?


Значит проблема с моей арифметикой. Потому что прямые у меня никак не получались. Тем более осевые.
А насчет того, что получится четверть плоскости - это я понимаю, этого я и добивался, один угол в 90 поместив в 0, а другой в бесконечность. Только вот причем тут инверсия я все равно не понимаю.

Для определенности возьмем $\frac{z-1}{z-i}$. Точка 1 перейдет в 0, -1 в 1-i, а -i в $\frac{1+i}{2}$ Решительно не вижу тут прямой

Otta в сообщении #731630 писал(а):
В принципе, можно бы взять и проще, с единицей в числителе. Забота-то одна - услать точку пересечения в бесконечность. Куда уйдут остальные, неважно.


А разве то, что тут две точки пересечения, не имеет значения?

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 17:06 
Mannimarco в сообщении #731636 писал(а):
Значит проблема с моей арифметикой. Потому что прямые у меня никак не получались.

Значит, проблема. А осевых прямых Вам никто не обещал. Мало ли какие прямые проходят через начало координат.
Цитата:
А насчет того, что получится четверть плоскости - это я понимаю, этого я и добивался, один угол в 90 поместив в 0, а другой в бесконечность.

Угол 90 не зависит от Ваших стараний. Он сам собой получится, при любом отображении. Дробно-линейные отображения конформны, если это Вам о чем-то говорит. :wink:
Цитата:
Только вот причем тут инверсия я все равно не понимаю.

Ни при чем. Вы вполне можете работать со своими отображениями, с любым из них. Просто там счета чуть меньше.

-- 02.06.2013, 19:07 --

Mannimarco в сообщении #731636 писал(а):
А разве то, что тут две точки пересечения, не имеет значения?

Вы хотите услать в бесконечность обе? :mrgreen: Не имеет.

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 17:13 
Otta в сообщении #731640 писал(а):
Значит, проблема. А осевых прямых Вам никто не обещал. Мало ли какие прямые проходят через начало координат.


Действительно, сейчас в третий раз пересчитал аккуратно - получил прямую.

Otta в сообщении #731640 писал(а):
Угол 90 не зависит от Ваших стараний. Он сам собой получится, при любом отображении. Дробно-линейные отображения конформны, если это Вам о чем-то говорит.


Здесь - да, не зависит, поскольку и между окружностями угол в 90. И да, что такое конформное отображение я знаю :D

Otta в сообщении #731640 писал(а):
Вы хотите услать в бесконечность обе? Не имеет.


Нет, как я уже писал в первом сообщение, я отправляю одну в 0, другую в бесконечность. А если использовать отображение с единицей в числителе, то оно, хоть и будет проще, потребует потом сдвига, что хоть и не сложно, но все-таки дополнительное действие :D

В общем, проблема заключалась только в моей арифметике. Всем спасибо :D

 
 
 
 Re: Помогите с задачкой на отображения
Сообщение02.06.2013, 19:57 
Mannimarco в сообщении #731628 писал(а):
Но мне непонятно, что значит инвертировать относительно i или 1.

Я всё-таки на всякий случай дополню, вдруг окажется полезным. Инверсия сама по себе -- это просто $w=\frac1z$, и её свойства всем известны. Инверсия "относительно" -- это всего лишь инверсия после соотв. сдвига.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group