Задача на параметр

[lampard]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a^2+8|x-5|+2\sqrt{x^2-10x+29}=2a+|x-2a-5|$

имеет хотя бы один корень.

У меня возникла идея сделать замену $t=x-5$, получается

$a^2+8|t|+2\sqrt{t^2+4}=2a+|t-2a|$

Потом рассмотреть 2 случая:

a) $a\geqslant 0$. Тут выделяются 3 подслучая раскрытия модулей.

В каждом из случаев можно записать дискриминант квадратного уравнения относительно $a$. Поможет ли это

б) $a<0$.

$t\geqslant 2a$. Тут выделяются 3 подслучая раскрытия модулей. Далее, аналогично.

Мне кажется, что это не самое лучшее решение (если это можно назвать решением).

Можно ли здесь иначе сделать? Можно графически? Что посоветуете?

[RIP]

Левая часть не меньше $a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$, а правая часть не больше $2|a|+|t|+2|a|\le4|a|+8|t|$. Равенства возможны только при $t=0$, $a=|a|=2$.

[lampard]

RIP в сообщении #731346 писал(а):

Левая часть не меньше $a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$, а правая часть не больше $2|a|+|t|+2|a|\le4|a|+8|t|$. Равенства возможны только при $t=0$, $a=|a|=2$.

Спасибо. Почему правая часть не больше -- ясно. А вот почему левая часть не меньше?

[lampard]

Спасибо, разобрался. Но в таком аналогичном случае этот метод не получается применить, так как оценки сверху и снизу не совпадают....

$a^2+9|t|+3\sqrt{t^2+4}=4a+2|t-2a|$

Левая часть не меньше $a^2+9|t|+6\geqslant \sqrt{6}|a|+9|t|$

Правая часть не больше $4a+2|t-2a|\leqslant 4a+2|t|+4a=8a+2|t|$

Как здесь тогда поступить?

[SpBTimes]

lampard

Вы не разобрались, что за оценка у левой части. Но тут и правильный вариант вроде бы не поможет

[lampard]

SpBTimes в сообщении #731398 писал(а):

lampard

Вы не разобрались, что за оценка у левой части. Но тут и правильный вариант вроде бы не поможет

Почему же? Это неравенство нетрудно доказать.

$a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$

$a^2-4|a|+4\geqslant 0$

$(|a|-2)^2\geqslant 0$

А это выполняется при любом $a$, а равенство достигается, когда $a=\pm 2$. А вот с тем примером, что выше -- аналогичным образом рассуждения провести мне не удалось(

[SpBTimes]

lampard
Я не про то. Оценку можно улучшить там, ведь $\geqslant 2 \sqrt{6}|a| + 9|t|$

[lampard]

SpBTimes в сообщении #731445 писал(а):

lampard
Я не про то. Оценку можно улучшить там, ведь $\geqslant 2 \sqrt{6}|a| + 9|t|$

Да, спасибо, но это мало поможет.

-- 02.06.2013, 10:45 --

JIogin в сообщении #731447 писал(а):

Ребят, помогите с моим примером. Пытался ввести график, поочередно раскрывая модули, ничего не получилось(

Создавайте свои темы, что же вы мои портите?

[Deggial]

Сообщения JIogin отделены.