Остаточный член в разложении Тейлора

[Otta]

bot
Например.
Я как-то больше предпочитаю писать $\sin x= x-x^3/6+O(x^5)$, чем $\sin x= x-x^3/6+o(x^3)$. Это действительно больше информации, не правда ли?

[bot]

Это не тот пример, так как $\sin x= x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$
Я о другом говорил, хотя и плохо выразился - не нужен мне пример, это я и сам могу (любую липшицеву функцию взять).

А вот есть ли какие-то простые достаточные условия для оценки остаточного члена в виде большого О большого, не вытекающие из других форм остатков?

[Otta]

bot
Это тот пример. Разное количество информации одинаковыми усилиями. Для Вашего разложения требуется больше усилий, но и информации в нем больше, чем в моих обеих.

А чтобы совсем понятно было, о чем я, уточню иными словами. Одно дело написать, что некая функция есть, скажем, $x+O(x^2)$ (а значит, там нет, например, слагаемых вида $x^{3/2}$, а другое дело - написать, что эта же функция есть $x+o(x)$, - этот вид нам ничего лишнего не сообщает.

bot в сообщении #731254 писал(а):

А вот есть ли какие-то простые достаточные условия для оценки остаточного члена в виде большого О большого, не вытекающие из других форм остатков?

Именно в формуле Тейлора? Думаю, там Лагранж правит бал.
Или где-то еще?

[ewert]

bot в сообщении #731254 писал(а):

есть ли какие-то простые достаточные условия для оценки остаточного члена в виде большого О большого, не вытекающие из других форм остатков?

Ну, например, достаточно ограниченность соответствующей производной (и её измеримости, конечно). Непрерывность не обязательна.

[Otta]

ewert в сообщении #731268 писал(а):

Ну, например, достаточно ограниченность соответствующей производной (и её измеримости, конечно).

Дык спрашивают же ж не вытекающие.

[ewert]

Otta в сообщении #731271 писал(а):

Дык спрашивают же ж не вытекающие.

Из чего не вытекающие? Во всяком случае, это ни разу не Лагранж.

[Otta]

Ну не Лагранж, ладно. Интегральной формы за глаза хватит. Для Лагранжа непрерывность производной в остатке таки нужна.

[ewert]

Otta в сообщении #731274 писал(а):

Для Лагранжа непрерывность производной в остатке таки нужна.

Нет, формально не нужна; но нужно её существование во всех внутренних точках. Конечно, с практической точки зрения это почти то же самое, что просто непрерывность. А вот для интегральной формы она как раз не обязательна, и тем самым допускаются гораздо менее экзотические и вполне встречающиеся разрывы -- например, первого рода. Или даже существование производной не обязательно, достаточно липшицевости предыдущей, но это для приложений уже снова экзотика.

[Otta]

ewert в сообщении #731278 писал(а):

Нет, формально не нужна; но нужно её существование во всех внутренних точках

А, точно. Спасибо за напоминание.

ewert в сообщении #731278 писал(а):

А вот для интегральной формы она как раз не обязательна, и тем самым допускаются гораздо менее экзотические и вполне встречающиеся разрывы -- например, первого рода. Или даже существование производной не обязательно, достаточно липшицевости предыдущей, но это для приложений уже снова экзотика.

Более того, для интегральной формы достаточно абсолютной непрерывности предыдущей производной, и как следствие, суммируемости производной в остатке по нужному отрезку.

[bot]

Короче говоря, о малое одно, а О больших много.

[ewert]

Otta в сообщении #731283 писал(а):

Более того, для интегральной формы достаточно абсолютной непрерывности предыдущей производной, и как следствие, суммируемости производной в остатке по нужному отрезку.

Это-то само собой, но для последующего "О" нужна ещё и ограниченность производной. Т.е., собственно, просто липшицевость предыдущей и нужна.

[Otta]

Эгее. )) Вы правы.