Остаточный член в разложении Тейлора

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #731077 писал(а):

Да везде он есть, чо уж.

Ну я лишь конкретно про Фихтенгольца. Однако же стоит заметить, что большое "О" (в отличие от маленького), к сожалению, есть далеко не везде. И это грустно.

[h4xx0rus]

Otta в сообщении #731056 писал(а):

h4xx0rus
Не, так не пойдет. Не надо угадывать, посмотрите учебный материал.
А для самоконтроля - вот: разложить до второй степени в окрестности нуля $f(x,y) = (e^x+xy)^3$.

У меня получилось ${({e^x} + xy)^3} = 3x + \frac{3}{2}xy + \frac{9}{2}{x^2} + o({(\sqrt {{x^2} + {y^2}} )^3})$

[Otta]

Ну почти. Свободный член потерял.

[h4xx0rus]

${({e^x} + xy)^3} = 1 + 3x + \frac{3}{2}xy + \frac{9}{2}{x^2} + o({(\sqrt {{x^2} + {y^2}} )^3})$

Всем большое спасибо за помощь!

[ewert]

h4xx0rus в сообщении #731101 писал(а):

Всем большое спасибо за помощь!

Большое пожалуйста. Оставим пока в стороне неверность самого разложения, бог с ним. Но вот что принципиально: что есть "о" -- именно маленькое?...

[Otta]

Да ну, даже почти все честно. Только при $xy$ коэффициент наврат.
Да, а какое там "о", конечно, принципиально.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #731106 писал(а):

Да ну, даже почти все честно. Только при $xy$ коэффициент наврат.

"Маленькая ложь рожает большие подозрения" (с)

А вообще-то мне даже и в голову не приходит, откуда там могла взяться двойка. В принципе.

[Ms-dos4]

ewert

(Оффтоп)

Цитата:

А вообще-то мне даже и в голову не приходит, откуда там могла взяться двойка. В принципе.

Забыл человек поставить двойку перед смешанной производной, и та, которая должна была сократиться - осталась

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731110 писал(а):

А вообще-то мне даже и в голову не приходит, откуда там могла взяться двойка. В принципе.

Я Вам таки скажу. Мы дифференцировали.

Во, и Ms-dos4 того же мнения.

[h4xx0rus]

ewert
...$\frac{1}{{i!}}{\left[ {(x - a)\frac{\partial }{{\partial x}} + (y - b)\frac{\partial }{{\partial y}}} \right]^i}$...
Хм, походу перекрестные дифференциалы умножаются на 2 при раскрытии скобок, я не делал этого. Там коэффициент при перекрестном дифференциале 3 получается?

[Ms-dos4]

h4xx0rus
Так бином Ньютона же. Этот оператор тем и удобен, что его "степени" раскрываются по этому правилу.
Да, коэффициент 3.

[Otta]

h4xx0rus в сообщении #731117 писал(а):

Хм, походу перекрестные дифференциалы умножаются на 2 при раскрытии скобок, я не делал этого. Там коэффициент при перекрестном дифференциале 3 получается?

Коэффициент при $xy$ три, да. Только дифференцированием такие задачи решать - страшное извращение.
Вы эдак сломаетесь от такой простой задачи: разложить $x^4/(1-x^8)$ до, скажем, 12-й степени.

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731088 писал(а):

Однако же стоит заметить, что большое "О" (в отличие от маленького), к сожалению, есть далеко не везде. И это грустно.

Большое О требует от функции больше, чем малое и тривиально вытекает из следующего за ним о малого.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #731227 писал(а):

Большое О требует от функции больше, чем малое и тривиально вытекает из следующего за ним о малого.

Во-первых, не вытекает, т.к. следующего за ним может просто не быть. Во-вторых (и в главных), тут вопрос в первую очередь не формальный, а чисто эстетический: "О" даёт просто больше информации, чем "о" и, соответственно, облегчает работу, причём в подавляющем большинстве случаев необходимые для него дополнительные требования заведомо выполнены. Т.е. "о" необходимы в первую очередь для формальных определений, для выкладок же при прочих равных условиях гораздо удобнее "О".

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731233 писал(а):

Во-первых, не вытекает, т.к. следующего за ним может просто не быть.

Хм, а пример?