Остаточный член в разложении Тейлора

[h4xx0rus]

"Остаточный член в разложении Тейлора функции нескольких переменных равен норме функции в степени следующей после последнего написанного члена."

Для функции $f = \frac{{x - y}}{{1 + {z^2} + {x^2}}}$ разложенной до второй степени он равен ${\left( {\sqrt {{{\left( {\frac{{x - y}}{{1 + {z^2} + {x^2}}}} \right)}^2}} } \right)^3}$ , я правильно понимаю? То, что разложение в окрестности точки (0,0,0), никак не влияет на остаточный член?

[Otta]

Неправильно.
Разложите, пожалуйста функцию $e^x$ до второй степени с остаточным членом в окрестности нуля, например.

[ewert]

h4xx0rus в сообщении #731033 писал(а):

"Остаточный член в разложении Тейлора функции нескольких переменных равен норме функции в степени следующей после последнего написанного члена."

Тривиально неверно. Хотя бы потому, что норма функции (что бы под ней ни понималось, пусть даже модуль) может быть какой угодно, остаточный же член -- он маленький.

Если хотите, чтобы было что обсуждать -- сформулируйте осмысленное утверждение, плиз.

[h4xx0rus]

Otta в сообщении #731035 писал(а):

Неправильно.
Разложите, пожалуйста функцию $e^x$ до второй степени с остаточным членом в окрестности нуля, например.

$1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + O({x^3})$

[Otta]

Вот. И где там степень экспоненты? Нету.

Формула Тейлора в многомерном случае имеет схожую структуру.

[Ms-dos4]

h4xx0rus
Скажу лишь что есть и другие формы остаточного члена, например интегральная
$\[{r_{k + 1}} = \frac{1}{{k!}}\int\limits_{{x_0}}^x {{{(x - \xi )}^k}{f^{(k + 1)}}(\xi )d\xi } \]$
или "по Лагранжу"
$\[{r_{k + 1}} = \frac{{{{(x - {x_0})}^{k + 1}}}}{{(k + 1)!}}{f^{(k + 1)}}({x_0} + \zeta (x - {x_0}))\]$ ( $\[0 < \zeta < 1\]$)

[Otta]

Ms-dos4
Коши забыл.
И в интегральной степень.

[h4xx0rus]

Otta в сообщении #731046 писал(а):

Вот. И где там степень экспоненты? Нету.

Формула Тейлора в многомерном случае имеет схожую структуру.

$O(\sqrt {{x^3} + {y^3} + {z^3}} )$

[Otta]

h4xx0rus
Не, так не пойдет. Не надо угадывать, посмотрите учебный материал.
А для самоконтроля - вот: разложить до второй степени в окрестности нуля $f(x,y) = (e^x+xy)^3$.

[Ms-dos4]

h4xx0rus
Я уверен, что цитата, которую вы привели в начале темы, вы переписали с ошибкой. Наверняка было написано что то типа (для формы Пеано)
$\[{r_{k + 1}} = o({\left\| {x - {x_0}} \right\|^{k + 1}})\]$
И остался один вопрос - как выглядит евклидова норма?
Otta

(Оффтоп)

Да, я поправил степень, спасибо

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #731059 писал(а):

И остался один вопрос - как выглядит евклидова норма?

А какая разница, как? Если "О" или пусть даже "о".

[Ms-dos4]

ewert
Да это вопрос чисто что бы не писали перлы, как несколькими постами выше

[h4xx0rus]

Ms-dos4
Корень из суммы квадратов координат.
${r_{k + 1}} = o\left( {{{\left( {\sqrt {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_0}} \right)}^2} + {{\left( {z - {z_0}} \right)}^2}} } \right)}^{k + 1}}} \right)$

Otta
В своей учебной литературе (Фихтенгольц и Демидович) я встретил только форму Лагранжа...

[ewert]

h4xx0rus в сообщении #731065 писал(а):

В своей учебной литературе (Фихтенгольц и Демидович) я встретил только форму Лагранжа...

А тщательнЕе надо гуглить. Тот же Фихтенгольц, гл.3, пар.5, п.124: "... дополнительный член в форме Пеано".

[Otta]

Да везде он есть, чо уж.