Построение фаз волны конечной струны

[eugrita]

Пусть есть струна конечной длины L оттянутая на расстояние h в точке x0
Для геометрического сложения прямой и отраженной волн по ф-ле Даламбера вроде надо продолжить функцию начального распределения прогиба $\varphi(x)=u(x,0) $ отрезка $0<x<L$ нечетным 2L-периодическим способом.
Правильно ли выполнено сложение волн и построена картина разных фаз для симметричной оттяжки $x_0=0.5L$ ?

По-моему эту волну нельзя назвать стоячей так как профиль (не знаю как назвать) имеет переменную ширину.
Где еще (кроме струн) можно встретить кусочно-линейные профили волн
а не как обычно гармонические или из нескольких гармоник?
(волны хотелось бы линейные с обычным 1-мерным волновым уравнением)

[Munin]

eugrita в сообщении #729799 писал(а):

Где еще (кроме струн) можно встретить кусочно-линейные профили волн
а не как обычно гармонические или из нескольких гармоник?

Да где угодно. Любое волновое уравнение имеет решение Д'Аламбера (или Римана в немного другом виде).

Нет, вру. Кроме нелинейных. Там гармоники начинают разбегаться, или сбегаться - и фронт заваливается.

[eugrita]

1)Физикам. Вроде в электротехнике имеются генераторы разных видов импульсов - прямоугольных, пилообразных и проч.Может ли быть электромагнитная волна скажем с пилообразным вектором напряженности и магнитной индукции? И поставлен аналогичный рассмотренному одномерный опыт - отражение такой волны от непроницаемого препятствия и интерференция c волнами исходного генератора?
2)школьная математика. Прием геометрического сложения разбегающихся волн по ф-ле Даламбера аналогичен приему получения графиков функций типа $\sum{|a_ix+b_i|}$ часто используемого при решении уравнений и неравенств с параметром в ЕГ(С5). Мне кажется, тренинг по такому сложению волн был бы школьникам полезен и с т.зр.математики и физики
Вот еще картинки, полученные с помощью моей компьютерной программы, моделирующей анимацию. Просто по кнопочке останавливаешь ее, делаешь снимок фронта, потом продолжаем до следующей остановки и т.п.

А дальше модель в основе программы надо усложнять, вводя отражения не под углом 90 и возможно несколько отражений

[Pavia]

eugrita
1) Чётко не поставлена задача.
2) Далее пошло её неправильное решение. Вернее его вообще не было.
3) При каких условиях геометрическое сложение можно применять(даёт верный результат)?
4)

eugrita в сообщении #729868 писал(а):

.Может ли быть электромагнитная волна скажем с пилообразным вектором напряженности и магнитной индукции?

Пилообразный вектор это как!!!
Вот векторное поле электрической напряженности может быть пилообразным.

[eugrita]

1)Задача ставится: методом компьютерного моделирования изучить сложение одномерных волн сначала
а)на конечной струне (отражение от концов)
потом в идеале рассмотреть прохождение плоских волн с отражением от 1 или 2 плоскостей (как пример-уголковый отражатель).
Пока разбор идет на примере струны с оттянутыми в начальном положении несколькими точками и отпущенной, т.е. $u(x_i)=h_i$ , ,$\partial u(x,t)\partial x |_{t=0}=0$
2)пилообразное изменение любой зависимости в частности электрического тока или напряжения- это периодическое продолжение функции y=kx на уч-ке (0,T)
3)Спорить с вами по-поводу сложения волн не собираюсь. Если знаете в каких случаях неправильно геометрическое сложение- выкладывайте.
4)Если считаете неправильным решение-дайте свой конкретный разбор с приведением рис., а так написать одну строчку каждый дурак может

[Munin]

eugrita в сообщении #729868 писал(а):

Может ли быть электромагнитная волна скажем с пилообразным вектором напряженности и магнитной индукции?

Конечно, без проблем.

eugrita в сообщении #729868 писал(а):

И поставлен аналогичный рассмотренному одномерный опыт - отражение такой волны от непроницаемого препятствия и интерференция c волнами исходного генератора?

Не знаю, ставили ли такие опыты специально, но тут всё прозрачно, и можно уже сразу делать инженерные устройства, основанные на результатах такой интерференции.

Может быть, даже, в каких-нибудь радарах такие волны и используются.

Совершенно точно такие волны (ну, не пилообразные, но и не синусоидальные) используются в природе в звуковой эхо-локации - у летучих мышей, у дельфинов.

eugrita в сообщении #729868 писал(а):

Мне кажется, тренинг по такому сложению волн был бы школьникам полезен и с т.зр.математики и физики

Хорошо бы, но есть два препятствия:
1. Во-первых, школьникам вообще крайне кратко и скомканно читают тему "колебания и волны", так что туда не помещается много другого интересного. Например, школьники не знакомятся с резонансом и автоколебаниями, а это крайне распространённые в жизни явления. Они не понимают качания качелей и формы волн на воде (не говоря о ветровых волнах и волнах на мелкой воде, с барашками).
2. Во-вторых, школьники не знакомятся с дифференциальными уравнениями, а для описания волн нужны именно ДУЧП. Иначе показывать им картинки и обсуждать их бессмысленно, а задавать вопросы и задачи бесполезно.

Pavia в сообщении #729948 писал(а):

Пилообразный вектор это как!!!

Это когда график зависимости вектора поля от координаты имеет пилообразную форму. Не тролльте тему.

eugrita в сообщении #729868 писал(а):

Вот еще картинки

Что-то они стали более неправдоподобно выглядеть, хотя точно не скажу. Как вы их получаете, по каким формулам?

[Pavia]

eugrita
Задачу надо поставить описать более чётко, конкретно. И тогда её можно будет сформулировать и решить математически.
Геометрическое сложение мы можем применять если докажем его правильность. (Вчера я не нашёл не одной книге где оно было описано.)

Отражение как таковое существует если у нас есть бегущая волна. И не существует если у нас стоячая волна.
Покажем это. Возьмем функцию U стоячей волны сместим ее на $\Delta x$, неравное полу периоду. Очевидно что если мы поделим сумму этих функций на исходную, то амплитуда по координате будет отличаться не на константу. т.е. у нас не будет стоячей волны.

А ошибка в том что волна при условии $x_0=0.5L$, как раз будет стоячей, а не бегущей.

Это можно доказать, когда вы держите струну, то она равномерно натянута. Если представить струну как набор пружин, то как только струну отпустят то они все одновременно начнут сжиматься. Так как струна равномерно натянута, то скорости и ускорения у всех пружинок будут одинаковыми по модулю. А следовательно изначальная форма амплитуды сохраниться- т.е у нас будет стоячая волна.

[Munin]

Pavia в сообщении #730262 писал(а):

Геометрическое сложение мы можем применять если докажем его правильность. (Вчера я не нашёл не одной книге где оно было описано.)

А вы решение Д'Аламбера-то нашли? Чего после этого доказывать?

Pavia в сообщении #730262 писал(а):

Отражение как таковое существует если у нас есть бегущая волна. И не существует если у нас стоячая волна.

Стоячая волна есть суперпозиция двух бегущих волн. Не тупите.

Pavia в сообщении #730262 писал(а):

Это можно доказать, когда вы держите струну, то она равномерно натянута. Если представить струну как набор пружин, то как только струну отпустят то они все одновременно начнут сжиматься.

Это не доказательство, а выдача желаемого за действительное. Вы что, уравнения струны не читали?

[Pavia]

Munin
Раз вы настаиваете что я не прав. Спорить не буду.
Зато вот нашел хорошую вещь про колебания струны.
История математики том 3.
http://alexandr4784.narod.ru/jusch3/jusch3_09.pdf
Что порадовала так это спор математиков о том в кокой форме искать решение. Одно огорчает что к единому результату они не пришли.

[eugrita]

Задавать вопросы ниже- демонстрировать свое невежество. Извините, но тем не менее задам.
1)правильно ли я понимаю, что прием периодического продолжения функции начального прогиба эквивалентен геометрической картине многократных отражений прямой и обратной волн от концов конечной струны?
2)интересны т.н. обобщенные решения волнового уравнения
а)ступенчатая функция начального прогиба $\prod(x-x_0,d)$
можно ли реальную струну изогнуть в виде П? За счет какой нагрузки?
б)удар молоточком по струне (сайт физфака МГУ)
$u_t|_{t=0}=v$ если $|x-c|<\delta$
$u_t|_{t=0}=0$ если $|x-c|>\delta$
3)Возможно ли распостранение волны узким пучком (в идеале прямая), т.е. как точка по прямой линии, и как этого технически добиваются в электромагнитных волнах, антеннах лазерах?Или наоборот, реальные электромагнитные волны имеют широкий фронт, т.е их можно при отражении от препятствий и в интерференционной картине моделировать пучком бесконечной ширины?
Т.е какой ширины пучок брать при рассмотрении отражения под косым углом и геометрии интерференционной картины.
Ну в акустике в основном колебания от мембраны. Будет ли одномерная волна
шириной с мембрану или краевые эффекты...
Мне интересны физические ситуации ближе к идеализированным математическим: в каких волнах бывают почти полное отражения в упругих, электромагн (оптических),акустических? Когда волна с параллельным фронтом бесконечной ширины, когда с нулевым, нитевидным
4)Как отражаются упругие волны от границ тела ,например, по цилиндру ударили молотом. Упругие колебания дойдут до торца и от него отразятся и будет стоячая волна? (а от других границ боковой поверхн цилиндра тоже отразятся и будут интерферировать? Создадут ли механические колебания поверхности цилиндра еще и звуковую волну в воздухе?

[Munin]

Pavia в сообщении #730497 писал(а):

Зато вот нашел хорошую вещь про колебания струны.
История математики том 3.

Это, конечно, хорошая вещь, если всё-таки решение волнового уравнения знать. Это любой учебник "Уравнения математической физики".

Pavia в сообщении #730497 писал(а):

Одно огорчает что к единому результату они не пришли.

Пришли. Просто этот результат со временем тоже менялся. В начале 20 века появился функан, спектральная теория, обобщённые функции. В общем, этого достаточно. Потом начали заниматься ДУЧП на многообразиях, но это уже усложнённая постановка задачи.

-- 31.05.2013 01:15:44 --

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

1)правильно ли я понимаю, что прием периодического продолжения функции начального прогиба эквивалентен геометрической картине многократных отражений прямой и обратной волн от концов конечной струны?

Нет. Это разные вещи. Можно заниматься многократными отражениями, и не иметь периодической функции. Скорее, периодическая функция нужна, чтобы вся струна колебалась с одной частотой, без обертонов - а любые движения фронтов и горбов по сути экививалентны бесконечному набору частот колебаний. То есть, периодическая функция (для струны, а вообще - не обязательно периодическая) - есть собственная функция задачи колебаний.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

2)интересны т.н. обобщенные решения волнового уравнения

В смысле обобщённых функций? Они тоже будут бегать по струне и отражаться от стенок, как в решении Д'Аламбера.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

можно ли реальную струну изогнуть в виде П? За счет какой нагрузки?

Уравнение струны представляет собой абстракцию струны с бесконечно малым (пренебрежимо малым) отклонением. То есть, струну можно привести в форму _____/^^^^^\_____, где длина склонов будет очень короткая, по сравнению с длиной струны и длиной волны (но не короткая по сравнению с величиной отклонения от горизонтали), и тогда получившееся начальное отклонение будет распространяться так же (в целом), как и буква П. То же относится и к отклонениям в виде дельта-функций.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

удар молоточком по струне (сайт физфака МГУ)

Тут молоточек конечной ширины, а можно считать его бесконечно узким - это будет достаточно показывать качественные результаты щипка или удара реальной струны.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

Возможно ли распостранение волны узким пучком (в идеале прямая), т.е. как точка по прямой линии, и как этого технически добиваются в электромагнитных волнах, антеннах лазерах?Или наоборот, реальные электромагнитные волны имеют широкий фронт, т.е их можно при отражении от препятствий и в интерференционной картине моделировать пучком бесконечной ширины?

Реальные волны имеют широкий фронт, существенно шире длины волны: $d\gg\lambda.$ Но если мы на такую волну посмотрим очень издалека, то она может показаться узкой: $d\ll L,$ где $L$ - геометрические размеры задачи. Математически существует точное решение для волны конечной ширины - т. наз. гауссов пучок (точная формула, например, в Ахманове, Никитине "Физическая оптика"). Он слегка расходится, по законам дифракции, но всё-таки его параметры можно выбрать таким образом, чтобы он расходился очень узко. Хотя ограничений дифракции, конечно, преодолеть нельзя: $\Delta d/L\sim\lambda/d.$

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

Т.е какой ширины пучок брать при рассмотрении отражения под косым углом и геометрии интерференционной картины.

При рассмотрении отражений, обычно берут пучок бесконечной ширины - плоскую волну (заполняющую всё пространство). Если надо взять пучок конечной ширины, то берут уже готовое решение задачи отражения для плоской волны, и собирают из плоских волн нужный пучок, по преобразованию Фурье. Не работает это только для нелинейных волн и/или сред.

Интерференцию тоже часто рассматривают как задачу интерференции двух или нескольких плоских волн. Но можно брать и конечную ширину, представляя такие пучки как суммы плоских волн. Таким образом, задача дифракции сводится к задаче интерференции, хотя и с интегралами.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

Ну в акустике в основном колебания от мембраны. Будет ли одномерная волна
шириной с мембрану или краевые эффекты...

Вблизи от мембраны - может быть почти не расходящийся пучок. Вдали он будет расходиться под постоянным углом. В общем, всё то же самое, см. дифракционные картины Френеля и Фраунгофера.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

Мне интересны физические ситуации ближе к идеализированным математическим: в каких волнах бывают почти полное отражения в упругих, электромагн (оптических),акустических? Когда волна с параллельным фронтом бесконечной ширины, когда с нулевым, нитевидным

Как я уже сказал, всё сводится к результатам для плоских волн бесконечной ширины, пока не попёрла нелинейщина.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

4)Как отражаются упругие волны от границ тела ,например, по цилиндру ударили молотом. Упругие колебания дойдут до торца и от него отразятся и будет стоячая волна?

Может, будет стоячая, а может, будут бегать бегущие. Вообще, удар, скорее всего, возбудит множество гармоник, так что одной стоячей волны не получится.

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

(а от других границ боковой поверхн цилиндра тоже отразятся и будут интерферировать?

Йистественно!

eugrita в сообщении #730615 писал(а):

Создадут ли механические колебания поверхности цилиндра еще и звуковую волну в воздухе?

А вы как думали? :-) Стукните молотком по железке: она звенит!

P. S. Но вообще, в воздух передаётся только малая часть энергии волны в твёрдом теле, так что, например, железяка звенит долго.

[eugrita]

Цитата:

Что-то они стали более неправдоподобно выглядеть, хотя точно не скажу. Как вы их получаете, по каким формулам?

Я то считаю что по формуле Даламбера
$u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}$
хотя может ошибка в программе. По крайней мере это проверяемо, 1-я картинку
я сначала построил на бумаге.Еще сам проверю отвечу, и позже выставлю тогда еще графики
2)для школьников все таки если убрать дифуры и остаться в рамках суперпозиции волн и ф-лы Даламбера это вроде вполне им понятно.
(правда уравнение однородное без источника, чтобы не было интегралов).
3)по моему пора в модели сделать прыжок в сторону упругих волн в жидкости и газе,для этого если для струны $V=a=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$
то для твердого тела продольная волна c фазовой скоростью $V=a=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$
еще и поперечная волна $V=a=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$
для жидкости, газа: $V=a=\sqrt{\frac{K}{\rho}}$
Правда сразу надо понимать каким физическим идеализированным моделям это соответствует.
Ну не очень понятно скажем какой фронт у взрывной волны и насколько здесь уместно "отражение под углом". И думаю что математические фокусы типа пилообразной зависимости здесь не пройдут, хотя взрыв тоже вроде дельта или П- функция

[Munin]

eugrita в сообщении #730678 писал(а):

для школьников все таки если убрать дифуры и остаться в рамках суперпозиции волн и ф-лы Даламбера это вроде вполне им понятно.

Но вполне бессмысленно. Ведь в дифурах вся физика. Я считаю, что лучше, хоть и нестрого, но о дифурах всё-таки рассказать.

eugrita в сообщении #730678 писал(а):

по моему пора в модели сделать прыжок в сторону упругих волн в жидкости и газе

Можно. Да и электромагнитные можно упомянуть. В проводе (без сопротивления и утечки), в среде с показателем преломления.

Но всё-таки, остаются волны не менее интересные, но более сложные: поверхностные волны на воде, волны Де Бройля свободной нерелятивистской частицы, например. Тот же провод с сопротивлением и утечкой. О них надо как-то упомянуть, но более чем упомянуть - не получится.

eugrita в сообщении #730678 писал(а):

Ну не очень понятно скажем какой фронт у взрывной волны и насколько здесь уместно "отражение под углом".

О, взрывная волна - сильно нелинейная, и для неё, например, скорость волны зависит от энергии волны. Отражение для неё уместно, хотя закон отражения я не знаю. Книжек по взрывным волнам сравнительно немного.

eugrita в сообщении #730678 писал(а):

И думаю что математические фокусы типа пилообразной зависимости здесь не пройдут, хотя взрыв тоже вроде дельта или П- функция

Собственно, из-за сильной нелинейности, взрывную волну нельзя раскладывать на слагаемые, и потом собирать заново. Рассматривают взрывную волну в виде одного фронта конечной высоты и бесконечно малой длины - точнее, длина "бесконечно мала" в макроскопическом масштабе, а в микроскопическом - порядка длины свободного пробега частиц в среде. Например, см.
Орленко "Физика взрыва и удара"
Под ред. Орленко "Физика взрыва"

[Pavia]

А можно вопрос, что значит применительно к волне отражение под углом?

[eugrita]

Не хотел бы отвлекаться от предмета обсуждения. Спасибо Munin Его знание и увлеченность физикой и рекомендация книг мне очень полезны. Но раз уже проскочил термин "Пилообразная волна" даю ссылку и указываю конкретное ее применение- акустическая в синтезаторе.
http://corpuscul.net/sintez-i-obrabotka-zvuka/caund-dizajn/istochniki-zvuka/

Цитата:

Пилообразная волна saw может быть самой «главной», часто используемой волне. Она дает яркий звук, который часто использ как основание для медных духовых и струнных звуков, так же и для общих "жирных" синтезаторных звуков (типа киков и басов).
Прямоугольник и пульс (Square and pulse) Прямоугольная форма волны имеет "пустое/полое" звучание и часто использ, чтобы создать "древесные" или
"пронзительные" тембры типа деревянных духовых. Она также часто использ в басовых звуках, или самост, или насыщает звук, часто действующий как субосциллятор (то есть нота, взятая ниже основного тона).